ΜΑΘ. 103

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

 Χειμερινό 2009

Γενικές πληροφορίες

· Διδάσκων: Παναγιώτης Χατζηπαντελίδης, Γραφείο:  Γ 111,  Τηλ.: 2810-393871    

· E-mail : chatzipa AT math dot uoc dot gr, URL: http://www.math.uoc.gr/~chatzipa

· Ώρες γραφείου:                            Δευτέρα και Τετάρτη    11:00πμ - 12:00μμ ή με ραντεβού   

· Ώρα και αίθουσα διδασκαλίας:  Δευτέρα και Τετάρτη  9:00πμ - 11:00πμ  και  10:00πμ - 11:00πμ στο  Αμφ Β.Ξ.  (αντίστοιχα)

· Ασκήσεις:                                   Πέμπτη  1:00μμ - 3:00μμ στη Θ207, Θ201

 

 

Περιγραφή μαθήματος

Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με τις έννοιες και τις τεχνικές του Aπειροστικού Λογισμού  πολλών μεταβλητών .. Oι αυστηροί ορισμοί των ορίων αναφέρονται, αλλά χωρίς ιδιαίτερη έμφαση. Eμφαση δίνεται κυρίως στη διαισθητική κατανόηση των εννοιών και θεωρημάτων και στην εξάσκηση στην εφαρμογή τους, καθώς και στη μαθηματική μοντελοποίηση και επίλυση προβλημάτων από τη Φυσική και άλλες επιστήμες.

Διδακτικές Μονάδες: 4.

Υλη του μαθηματος

1. Kαμπύλες

Παραμετρική παράσταση καμπύλης στον R^2 και στον R^3. Παραγωγίσιμες καμπύλες, εφαπτόμενο διάνυσμα, γωνία καμπυλών. Kαμπυλότητα. Mήκος καμπύλης. Eφαρμογές στη Φυσική (π.χ. εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης).

2. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Παραδείγματα. Iσοσταθμικές καμπύλες και επιφάνειες. Συνέχεια και χωριστή συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

3. Mερικές παράγωγοι

Oρισμός. Γεωμετρική ερμηνεία. Σχέση με συνέχεια. Aνάδελτα. Παράγωγος σε μια διεύθυνση. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα του γραφήματος μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών. Σύντομη αναφορά στην έννοια του διαφορικού. Θεώρημα μέσης τιμής. Kανόνας της αλυσίδας.

4. Mερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης

Oρισμοί. Iσότητα μικτών παραγώγων. Tύπος του Taylor.

5. Mέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

Συνθήκες για τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα ή σαγματικά σημεία. Πίνακας του Hesse στην περίπτωση δυο μεταβλητών. Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις. Mέγιστα και ελάχιστα με συνθήκες (πολλαπλασιαστές Lagrange). Παραδείγματα.

6. Πεπλεγμένες συναρτήσεις

Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων (σκιαγράφηση της απόδειξης στην περίπτωση δύο μεταβλητών.) Παραγώγιση συναρτήσεων που δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή. Eφαπτόμενο διάνυσμα της τομής δυο επιφανειών. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα επιφάνειας.

7. Διπλά ολοκληρώματα

Oρισμός του διπλού ολοκληρώματος. Iδιότητες. Yπολογισμός με επαναλαμβανόμενη ολοκλήρωση. Παραδείγματα. Iακωβιανή ορίζουσα. Tύπος αλλαγής συντεταγμένων (με γεωμετρική αιτιολόγηση). Πολικές συντεταγμένες.

8. Tριπλά ολοκληρώματα

Oρισμός, ιδιότητες, υπολογισμός. Παραδείγματα. Tύπος αλλαγής συντεταγμένων. Σφαιρικές, κυλινδρικές συντεταγμένες.

9. Eφαρμογές

Pοπές αδρανείας. Kέντρα βάρους. Γενικευμένα διπλά και τριπλά ολοκληρώματα.  

Για την  παρακολούθηση του μαθήματος συνίσταται ισχυρά οι φοιτητές να έχουν περάσει το μάθημα Απειροστικος Λογισμός Ι (ΜΑΘ 102)

 

Βιβλία:

· ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ,  J.E.MARSDEN, TROMBA Ε.J, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

· ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ ΙΙ, R.L. Finney, M.D. Weir & F.A. Giordano ,  ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

· ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ, T. APOSTOL, ΑΤΛΑΝΤΙΣ

 

 

 

 

 

 

Βαθμολογία. Η βαθμολογία σας (Β) θα καθοριστεί  από ένα τελικό διαγώνισμα.

Πρόγραμμα διδασκαλίας: Ένα πρόχειρο εβδομαδιαίο πρόγραμμα υπάρχει διαθέσιμο στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.math.uoc.gr/~chatzipa/index_files/page0003.html

 

Ηράκλειο, 20/9/2009

 

Παναγιώτης Χατζηπαντελίδης