Μ1312-ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι
ΚΑΙ
Μ211-ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Χειμερινό εξάμηνο 2011-12
Ωρες διδασκαλίας: Δευτέρα - Τετάρτη 11-1, Θ207.
Ασκήσεις: Πέμπτη 11-1, Αμφ. ΣΠ.

Ύλη: 1. Σύντομη επανάληψη γνωστών εννοιών, όπως συζυγής μιγαδικός αριθμός, μέτρο και όρισμα μιγαδικού κ.λπ.
        2. Στοιχειώδης Τοπολογία του Μιγαδικού Επιπέδου.
        3. Αναλυτικές (ή ολόμορφες) συναρτήσεις: Ορισμοί, συνθήκες Cauchy - Riemann, στοιχειώδεις συναρτήσεις κ.λπ.
        4. Θεωρία Cauchy: Θεώρημα Cauchy, Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy, εκτιμήσεις Cauchy, Θεώρημα Liouville,
                                     Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας κ.λπ.
        5. Δυναμοσειρές, Ανάπτυγμα Taylor αναλυτικών συναρτήσεων, Αρχή Ταυτότητας, Αρχή μεγίστου - ελαχίστου κ.λπ.
        6. Ανωμαλίες, Σειρές Laurent, Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρμογές τους, Θεώρημα Rouche κ.λπ.

Συγγράμματα: 1.  ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ των J. Bak και D. J. Newman
                         2.  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ των Σ. Κ. Μερκουράκη και Τ. Ε. Χατζηαφράτη
                         3.  ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥΣ του Σ. Τερσένοβ

Εκτός των παραπάνω, από τα οποία θα διαλέξετε ένα από τον ΕΥΔΟΞΟ, στην Βιβλιοθήκη υπάρχουν και άλλα συγγράμματα, είτε
ξενόγλωσσα, είτε στα Ελληνικά, όπως π.χ.
1. ΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ του Ν. Δανίκα
2. ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ των R. Churchill και J. Brown  (ΠΕΚ)  κ.λπ. 

ΠΡΟΣΟΧΗ: Στο μάθημα ακολουθούμε σε γενικές γραμμές το ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ των Bak - Newman. Χρειάζεται όμως σε πολλά
σημεία να συμπληρώνουμε ύλη, οπότε εάν κάποιος ΔΕΝ παρακολουθεί τις διαλέξεις του μαθήματος θα πρέπει να βρεί τρόπο να
πληροφορηθεί για την επιπλέον ύλη από κάποιον που παρακολουθεί, ή να διαβάζει και από άλλα βιβλία σύμφωνα με τις πληροφορίες
που δίδονται παρακάτω στο Ημερολόγιο Μαθήματος.


ΤΡΟΠΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: Μία τελική εξέταση.
ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

26/9/2011-27/10/2011: Κατά τις 5 πρώτες εβδομάδες του μαθήματος έχουν γίνει τα Κεφάλαια 1 έως 4 του παραπάνω βιβλίου. Επιπλέον
                                     έχουν γίνει τα εξής (αναφέρονται μόνο τα βασικά, χωρίς πολλές λεπτομέρειες):
                                     1. Ρίζες της μονάδος και γενικά μιγαδικού αριθμού.
                                     2. Περισσότερο αναλυτικά τα σχετικά με ακολουθίες, συνεχείς συναρτήσεις και αναλυτικές συναρτήσεις και τις
                                         συνθήκες Cauchy - Riemann.
                                     3. Στην παράγραφο 3.2 έγιναν πολλά περισσότερα πράγματα, όπως τα σχετικά με υπερβολικές συναρτήσεις,
                                         ορίσματα και λογαρίθμους (κλάδοι ορίσματος, κλάδοι λογαρίθμου, ολόμορφοι κλάδοι λογαρίθμου κ.λπ.).
                                     4. Στα ολοκληρώματα ορίσαμε και ολοκλήρωμα κατά μήκος τόξου, δηλαδή ολοκλήρωση ως προς |dz|, καθώς
                                         και ολοκλήρωση ως προς συζυγή dz, ή ως προς dx, dy, |dx|, |dy| κ.λπ.
                                     5. Το Θεώρημα του Cauchy (Θεώρημα κλειστής καμπύλης) έγινε πρώτα στην ασθενή του μορφή (η συνάρτηση
                                          f να έχει παράγωγο συνεχή) με την βοήθεια του Θεωρήματος του Green.
31/10/2011-24/11/2011: Τις εβδομάδες αυτές έγιναν τα εξής:
                                      1. Τα Κεφάλαια 5 - 6 - 7 του παραπάνω βιβλίου.
                                      2. Από το Κεφάλαιο 8, από την παράγραφο 8.1, οι ορισμοί και τα Θεωρήματα 8.5 και 8.6. Η παράγραφος 8.2
                                          έγινε με περισσότερες λεπτομέρειες (οι αναλυτικοί κλάδοι λογαρίθμου είναι πάντοτε πολύ σημαντικοί).
                                      3. Το Κεφάλαιο 9.
28/11/2011-22/12/2011: Από τα υπόλοιπα Κεφάλαια 10 έως 13, η παράγραφος 11.2 και το Κεφάλαιο 12 είναι προεταιτικά.




ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ
Την Δευτέρα 5/12/2011 στις 11-13 θα γίνουν Ασκήσεις αντί για μάθημα θεωρίας.