Εισαγωγή

Έστω C μία αλγεβρική προβολική καμπύλη γένους $g\geq 2$, ορισμένη πάνω από το αλγεβρικά κλειστό σώμα k, χαρακτηριστικής $p\geq 0$. Είναι γνωστό ότι η ομάδα των αυτομορφισμών G της C είναι πεπερασμένη. Σε αυτή την εργασία μελετούμε την δομή των ομάδων αυτομορφισμών μερικών συγκεκριμένων οικογενειών καμπύλων. Επιτρέπουμε οι οικογένειες καμπύλων που μελετάμε να έχουνε και ιδιόμορφες καμπύλες. Στην περίπτωση αυτή, δηλαδή στην περίπτωση που μία καμπύλη είναι ιδιόμορφη, θα εννοούμε τους αυτομορφισμούς ενός προβολικού, πλήρους, μη ιδιόμορφου μοντέλου της ή ισοδύναμα τους αυτομορφισμούς των αντίστοιχων σωμάτων συναρτήσεων. Κρίναμε λοιπόν βολικό να παρουσιάσουμε την θεωρία τους, σε όρους των σωμάτων συναρτήσεων και των αντίστοιχων θέσεων τους.

Αναλυτικά η διάρθρωση των κεφαλαίων έχει ως εξής:

Στο πρώτο κεφάλαιο μελετούμε το παρακάτω πρόβλημα: Θεωρούμε μία αβελιανή επέκταση F του σώματος συναρτήσεων F₀, με αβελιανή ομάδα Galois A. Ποιά είναι η σχέση της ομάδας αυτομορφισμών του F₀ με την ομάδα αυτομορφισμών του F? Η μέθοδος που ακολουθούμε, προκειμένου να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα είναι η εξής: Δίνουμε αναγκαίες συνθήκες, ώστε η ομάδα A να είναι κανονική υποομάδα της ομάδας αυτομορφισμών G_F του σώματος F. Έτσι το πρόβλημα υπολογισμού της δομής της ομάδας G_F ανάγεται σε ένα πρόβλημα επέκτασης μιας υποομάδας H της ομάδας αυτομορφισμών G_F0 του σώματος F₀ με αβελιανό πυρήνα A. Όπως είναι γνωστό τα προβλήματα επεκτάσεων ομάδων ανάγονται στον υπολογισμό των συνομολογιακών κλάσεων της ομάδας H²(H,A) που αντιστοιχούν σε δεδομένη επέκταση. Επιπλέον δίνουμε κριτήρια ώστε η δομή της ομάδας G_F να εξαρτάται από τον τύπο διακλάδωσης της επέκτασης σωμάτων F/F₀.

Στο δεύτερο κεφάλαιο, εφαρμόζουμε τα παραπάνω εργαλεία στα σώματα συναρτήσεων των καμπύλων με επίπεδα μοντέλα της μορφής yⁿ=f(x) και καθορίζουμε τις δυνατές δομές των ομάδων αυτομορφισμών, κάνοντας χρήση των θεωρημάτων ταξινόμισης των πεπερασμένων υποομάδων της ομάδας αυτομορφισμών του ρητού σώματος συναρτήσεων.

Στο επόμενο κεφάλαιο, υπολογίζουμε τις ομάδες αυτομορφισμών των σωμάτων συναρτήσεων F_n,m των καμπύλων xⁿ+y^m-1=0 όπου $n\neq m$, και η χαρακτηριστική δεν διαιρεί τα n,m. Η μέθοδος που ακολουθούμε είναι λίγο διαφορετική από τις προηγούμενες μεθόδους. Εξ' αιτίας της μεγάλης συμμετρίας του παραπάνου επίπεδου μοντέλου, μπορούμε να υπολογίσουμε μια βάση ολόμορφων διαφορικών καθώς και την δομή των ημιομάδων του Weierstrass σε συγκεκριμένα σημεία. Με αυτό τον τρόπο αποδεικνύουμε ότι η ομάδα $\mu(m)$ είναι κανονική υποομάδα της ομάδας αυτομορφισμών F_n,m. Είναι ενδιαφερόν να παρατηρήσουμε ότι όταν m|n και το n-1 είναι δύναμη της χαρακτηριστικής τότε η ομάδα αυτομορφισμών έχει τάξη πολύ μεγαλύτερη από το φράγμα του Hurwitz στην χαρακτηριστική 0. Η περίπτωση n=m ήταν γνωστή από την εργασία του Leopoldt από τις αρχές της δεκαετίας του 70. Στο τέταρτο κεφάλαιο, επεκτείνουμε ένα αποτέλεσμα του J.P. Serre που υπολόγισε τις ομάδες αυτομορφισμών των modular καμπύλων X(p) για p πρώτο και υπολογίζουμε τις ομάδες αυτομορφισμών των καμπύλων X(N), για κάθε φυσικό N. Όπως προέκειψε, μετά από επικοινωνία με τον J.P. Serre ο παραπάνω υπολογισμός της ομάδας αυτομορφισμών των καμπύλων X(N), ήταν γνωστός στους ειδικούς της περιοχής.

Στο τελευταίο κεφάλαιο, υπολογίζουμε τις ομάδες αυτομορφισμών των υπερεπιφανειών Fermat. Αποδεικνύουμε αρχικά ότι κάθε αυτομορφισμός των υπερεπιφανειών Fermat είναι περιορισμός ενός αυτομορφισμού του περιβάλλοντος προβολικού χώρου και στην συνέχεια υπολογίζουμε τους αυτομορφισμούς που διατηρούν την εξίσωση Fermat αναλλοίωτη. Και το αποτέλεσμα αυτό, ήτανε γνωστό από το 1987 από τον T. Shioda. Η μέθοδος του Shioda μου έγινε γνωστή από τον T. Katsura και αφού η διδακτορική μου διατριβή είχε ποιά ολοκληρωθεί.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Γιάννη Αντωνιάδη για την βοήθεια που μου πρόσφερε σε όλη την διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή P. Roquette για το ενδιαφέρον που έδειξε για την εργασία μου καθώς και τα σχόλια και τις υποδείξεις του. Ευχαριστώ επίσης το Ίδρυμα Κρατικών Υποτρoφιών του οποίου υπήρξα υπότροφος.

Ευχαριστώ ιδιαίτερα τους γονείς μου Γιάννη και Μαρία καθώς και τους φιλούς και συνεργάτες μου στο πενεπιστήμιο Κρήτης Μαρίνα, Δημήτρη, Θανάση, Γιώργο.

Ηράκλειο 18 Δεκεμβρίου 1998

Το πλήρες κείμενο της διατριβής σε Postscript