Περιεχόμενο

 

• Το αξίωμα της συνέχειας (ύπαρξη supremum ενός μη-κενού άνω φραγμένου συνόλου πραγματικών αριθμών). Το σύνολο των φυσικών δεν είναι άνω φραγμένο. Η Αρχιμήδεια ιδιότητα. Ακέραιο μέρος αριθμού. Πυκνότητα των ρητών. Ύπαρξη ριζών θετικών αριθμών. Πυκνότητα των αρρήτων. Ύπαρξη λογαρίθμων θετικών αριθμών.

 

• Όριο ακολουθίας. Ύπαρξη ορίου μονότονης ακολουθίας. Εγκιβωτισμένα διαστήματα. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzano-Weierstrass. Ακολουθίες Cauchy και η ιδιότητα πληρότητας. Υπακολουθιακά όρια και τα liminf, limsup ακολουθίας.

 

• Άθροισμα σειράς. Βασικές ιδιότητες. Ύπαρξη αθροίσματος σειράς μη-αρνητικών όρων. Σύγκριση σειρών. Κριτήρια σύγκλισης (ολοκληρωτικό, συμπύκνωσης, Cauchy, απόλυτης σύγκλισης, λόγου, ρίζας, Dirichlet).

 

• Σημείο συσσώρευσης συνόλου. Όριο συνάρτησης. Συνέχεια συναρτήσης. Ισοδύναμη μορφή ορίου και συνέχειας με ακολουθίες. Θεωρήματα φραγμένης συνάρτησης, μέγιστης-ελάχιστης τιμής, ενδιάμεσης τιμής. Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα. Ομοιόμορφη συνέχεια. Κάθε ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση είναι συνεχής. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι ομοιόμορφα συνεχής.

 

• Παράγωγος συνάρτησης. Κανόνας αλυσίδας, παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης. Θεωρήματα Fermat, Rolle, μέσης τιμής (Lagrange και Cauchy). Παράγωγος και μονοτονία. Δεύτερη παράγωγος και κυρτότητα. Εφαρμογή παραγώγων σε ανισότητες. Οι δύο κανόνες του l'Hôpital. Σημείωση: το βάρος της παραγώγου στην Ανάλυση Ι πρέπει να είναι περιορισμένο, διότι όλες οι σχετικές ιδιότητες αποδεικνύονται στον Απειροστικό Λογισμό Ι.