Απειροστικός Λογισμός Ι (ΜΕΜ 101)

Κατεύθυνση	Μαθηματικών	&  Εφαρμ. Μαθηματικών
Είδος	Υποχρεωτικό
Έτος/εξάμηνο	1ο / Χειμερινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 5
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 2
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	Κανένα
Συνιστώμενα μαθήματα	Κανένα
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις, εργαστήριο προβλημάτων
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου

 

Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να υπολογίζουν το δ ή το n₀ από το ε σε απλές περιπτώσεις ορίου.
• Να υπολογίζουν όρια ακολουθιών και συναρτήσεων βάσει των ιδιοτήτων των ορίων (συμπεριλαμβανομένων των κανόνων του l'Hôpital).
• Να υπολογίζουν παραγώγους, να βρίσκουν ακρότατα και σημεία καμπής και γενικότερα να μελετούν ως προς το σύνολο τιμών, την μονοτονία και την κυρτότητα και να σχεδιάζουν γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.
• Να υπολογίζουν ορισμένα και αόριστα ολοκληρώματα καθώς και (απλά) γενικευμένα ολοκληρώματα.
• Να διερευνούν την σύγκλιση σειρών βάσει κριτηρίων και να βρίσκουν τα διαστήματα σύγκλισης δυναμοσειρών.
• Να γνωρίζουν τις σειρές Taylor βασικών συναρτήσεων.

Περιεχόμενο

• Σύντομη επισκόπηση βασικών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών και γνωστών στοιχειωδών συναρτήσεων (πολυωνυμικές, ρητές, δυνάμεις, εκθετικές, τριγωνομετρικές). Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Σημείωση: στο μάθημα αυτό δεν γίνεται αναφορά στην έννοια του supremum.
• Ακολουθίες. Όριο ακολουθίας (εψιλοντικός ορισμός). Αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες ορίων. Ύπαρξη ορίου μονότονης ακολουθίας (χωρίς απόδειξη). Ο αριθμός e. Ακολουθίες οριζόμενες με αναδρομικό τύπο.
• Όριο συνάρτησης (εψιλοντικός ορισμός). Αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες ορίων. Ύπαρξη ορίου μονότονης συνάρτησης (χωρίς απόδειξη).
• Συνέχεια συνάρτησης. Είδη ασυνεχειών. Αλγεβρικές ιδιότητες συνέχειας. Θεωρήματα φραγμένης συνάρτησης (χωρίς απόδειξη), μέγιστης-ελάχιστης τιμής (χωρίς απόδειξη), ενδιάμεσης τιμής (χωρίς απόδειξη), θεώρημα Bolzano, θεώρημα διατήρησης προσήμου. Σύνολο τιμών γνησίως μονότονης συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα. Η συνέχεια της αντίστροφης γνησίως μονότονης συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα.
• Παράγωγος συνάρτησης. Αλγεβρικές ιδιότητες παραγώγων. Κανόνας αλυσίδας, παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης. Θεωρήματα Fermat, Rolle, μέσης τιμής (Lagrange και Cauchy). Παράγωγος και μονοτονία. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Δεύτερη παράγωγος και κυρτότητα. Μελέτη συνάρτησης. Οι δύο κανόνες του l'Hôpital.
• Ορισμένο ολοκλήρωμα Riemann (βάσει αθροισμάτων Riemann). Ολοκληρωσιμότητα συνεχούς συνάρτησης (χωρίς απόδειξη) και μονότονης συνάρτησης (χωρίς απόδειξη). Αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων (ελάχιστες αποδείξεις).
• Παράγουσες και αόριστα ολοκληρώματα συνάρτησης. Θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού. Τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων. Εφαρμογές σε υπολογισμούς εμβαδών, όγκων κ.τ.λ. Απλά γενικευμένα ολοκληρώματα.
• Σειρές αριθμών. Σύγκλιση και απόκλιση σειράς. Αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες. Σειρές με μη-αρνητικούς όρους. Κριτήρια σύγκλισης (ολοκληρωτικό, συμπύκνωσης, απόλυτης σύγκλισης, λόγου, ρίζας, εναλλασσόμενων προσήμων). Δυναμοσειρές. Διάστημα σύγκλισης. Σειρές Taylor γνωστών συναρτήσεων (εκθετικής, ημιτόνου, συνημιτόνου, λογαρίθμου, τόξο εφαπτομένης).

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• R.L. Finney, M.D. Weir, F.R. Giordano. Απειροστικός Λογισμός (Ενιαίος τόμος), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2015.
• Mιχάλης Παπαδημητράκης. Απειροστικός Λογισμός. Σημειώσεις, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, 2013.
• Tom Apostol. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός I, Ατλαντίς, 1990.
• D. Hughes-Hallet, A.M. Gleason, W.G. McCallum. Calculus, John Wiley & Sons, Inc. 2012.