Άλγεβρα ΙΙ (MΕΜ222)

Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

Ανακοίνωση για την εξέταση της περιόδου Ιουνίου (Πέμπτη 11 Ιουνίου, ώρα 9)

Επιτρέπεται να έχετε μαζί σας τις σημειώσεις μου, δίχως καμμία δική σας σημείωση πάνω σε αυτές. Επίσης, δεν επιτρέπεται να έχετε μαζί σας δικές σας σημειώσεις ή βιβλία.

Θέματα Εξεταστικής Περιόδου Ιουνίου

Εαρινό Εξάμηνο 2015

           Διαλέξεις : Δευτέρα 9:00'-11:00' και Τετάρτη 13:00'-15:00', Αμφιθέατρο Α 201
                           Ασκήσεις : Πέμπτη 13:00'-15:00', Αμφιθέατρο Α 201



   Ώρες γραφείου (γραφείο Γ 313):   Δευτέρα 11:00' – 12:30'.

Περιγραφή του μαθήματος: Φυσιολογική συνέχεια του μαθήματος Άλγεβρα Ι (ΜΕΜ 221).
Αδρή περιγραφή της ύλης: Ομάδες μεταθέσεων, κύκλοι, αντιμεταθέσεις, πρόσημο μετάθεσης. Εναλλάσουσα ομάδα. Θεώρημα Cayley. Ευθύ γινόμενο ομάδων. Σύμπλοκα, δείκτης υποομάδας. Θεώρημα Lagrange. Ομομορφισμοί ομάδων, πυρήνας και εικόνα ομομορφισμού. Κανονικές υποομάδες. Ομάδες-πηλίκα. Θεωρήματα ισομορφισμών. (Μέρος αυτής της ύλης έχει διδαχθεί στην Άλγεβρα Ι. Το μέρος αυτό θα το περάσομε γρήγορα.) Διαιρετότητα σε ακέραια περιοχή, μονάδες, ανάγωγα στοιχεία, πρώτα στοιχεία. Μονοσήμαντη ανάλυση σε ακέραια περιοχή. Δακτύλιος των πολυωνύμων με συντελεστές από ένα σώμα. Δακτύλιος των πολυωνύμων με συντελεστές από μία ακέραια περιοχή. Κριτήριο Eisenstein και Λήμμα του Gauss. Ιδεώδη ενός δακτυλίου. Πρώτα και μεγιστικά (maximal) ιδεώδη. Ομομορφισμοί δακτυλίων, πυρήνας και εικόνα ομομορφισμού. Δακτύλιοι-πηλίκα. Θεωρήματα ισομορφισμών.
Απαιτήσεις: Ικανοποιητική γνώση της Άλγεβρας Ι.
Βιβλία-Σημειώσεις: [1] Δ. Βάρσου, Δ. Δεριζιώτη, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκα, Ο. Ταλέλλη, Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα, εκδόσεις Σοφία.
[2] J.B. Fraleigh, Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
Μέρος του ύλης θα καλύπτεται από τις σημειώσεις μου, οι οποίες θα αναρτώνται σ' αυτή την ιστοσελίδα.
Εξεταστικό σύστημα. Ο βαθμός του Ιουνίου (αντιστοίχως, του Σεπτεμβρίου) θα προκύψει αποκλειστικά από την εξέταση της αντίστοιχης εξεταστικής περιόδου.

1^η Εβδομάδα: 9-13 Φεβρουαρίου. Επανάληψη στις μεταθέσεις. Δράση μετάθεσης σε πολυώνυμο πολλών μεταβλητών. Άρτιες και περιττές μεταθέσεις. Ισχυρή σύσταση να λύσετε τις ασκήσεις 1-5 από το αρχείο ασκήσεων.

2^η Εβδομάδα: 16-20 Φεβρουαρίου.  Εναλλάσουσα ομάδα A_n. Ευθύ γινόμενο ομάδων. Παραδείγματα. Εκτενής πραγμάτευση της ομάδας Z_m x Z_n. Αποδείξαμε το θεώρημα ότι η ομάδα Z_m x Z_n είναι ισόμορφη με την ομάδα Z_mnαν και μόνο αν
                                                             (m,n)=1. Την ώρα των ασκήσεων λύθηκαν και συζητήθηκαν λεπτομερώς οι ασκήσεις 6-9 από το αρχείο ασκήσεων. Ισχυρή σύσταση: Να ασχοληθείτε υπομονετικά με την άσκηση 10 και να τη λύσετε πλήρως.
                                                             Μη βαρεθείτε ν' αφιερώσετε χρόνο!

3^η Εβδομάδα: 23-27 Φεβρουαρίου. Θεώρημα του Cayley: Αν μία ομάδα έχει τάξη n, τότε είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα της Sn. Σύμπλοκα και το Θεώρημα του Lagrange. Δείκτης υποομάδας.
Στο πνεύμα των διαλέξεων είναι πολύ κοντά η ενότητα 1.7 του βιβλίου [2]. Ασκήσεις 11-14 από το αρχείο ασκήσεων.

4^η Εβδομάδα: 2-6 Μαρτίου. Κανονικές υποομάδες. Ομάδα-πηλίκο. Θεμελιώδες Θεώρημα Ομορφισμού Ομάδων. Στο πνεύμα των διαλέξεων είναι πολύ κοντά η ενότητα 2.3 του βιβλίου [2]. Παραδείγματα υπολογισμών ομάδων-πηλίκων.
Ασκήσεις 15-23 από το αρχείο ασκήσεων. Οι περισσότερες από αυτές έγιναν λεπτομερώς στο μάθημα.

5^η Εβδομάδα: 9-13 Μαρτίου. Πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες. Στο πνεύμα των διαλέξεων είναι πολύ κοντά η ενότητα 1.8 του βιβλίου [2] και, πιο συγκεκριμένα, οι υποενότητες Γεννήτορες μιας ομάδας και Η δομή των πεπερασμένα
παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Μια πιο λεπτομερής διατύπωση για το Θεμελιώδες θεώρημα των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Ασκήσεις 24-28 από το αρχείο ασκήσεων.

6^η Εβδομάδα: 16-20 Μαρτίου.  Υπενθύμιση κάποιων βασικών εννοιών και προτάσεων για δακτυλίους, ακέραιες περιοχές, πολυώνυμα από την ύλη της Άλγεβρας Ι. Στο πλαίσιο των παραδειγμάτων συζητήθηκαν αναλυτικά τα πολυώνυμα
   περισσοτέρων της μιας μεταβλητών με συντελεστές από μία ακέραια περιοχή και λύθηκαν λεπτομερώς αρκετές από τις ασκήσεις 29-32 του αρχείου ασκήσεων, ως εφαρμογή της ευκλείδειας διαίρεσης στα
                                                     πολυώνυμα με συντελεστές από μία ακέραια περιοχή (βλ. Θεώρημα 2.3.5 του [1]).
                                                     Ισχυρή σύσταση: Δείτε ξανά την εξής ύλη από το σύγγραμμα [1]:
                                                                                   Από το Κεφάλαιο 2:
                                                                                          Eνότητα 2.1 (περιέχει τα εντελώς βασικά, αλλόιμονο αν δεν ξέρετε αυτά!).
                                                                                          Ενότητα 2.2 μέχρι και το Θεώρημα 2.2.7.
                                                                                          Ενότητα 2.3, μέχρι και το Θεώρημα 2.3.5.
                                                                                          Ενότητα 2.4, μέχρι και την υποενότητα 2.4.6.

Διαιρετότητα σε ακέραια περιοχή. Συνεταιρικά στοιχεία. Ανάγωγα στοιχεία. Δείτε την αρχή της ενότητας 1 των σημειώσεών μου. Ασκήσεις 33, 34 και 35 του αρχείου ασκήσεων.

7^η Εβδομάδα: 23-27 Μαρτίου.  Συνεχίζομε την ύλη της ενότητας 1 των σημειώσεών μου. Πιο συγκεκριμένα, μιλήσαμε για τα πρώτα στοιχεία μιας ακέραιας περιοχής και κάναμε τη διάκριση μεταξύ πρώτου και ανάγωγου στοιχείου.
                                                     Σχετική είναι η Πρόταση 1.1 και πολύ σημαντικά τα παραδείγματα που ακολουθούν. Ορίσαμε τις περιοχές ανάλυσης (αλλά όχι ακόμη για τις περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης) και συζητήσαμε πολύ διεξοδικά
                                                     την απόδειξη της Προτάσεως 1.2. Δείτε στις σημειώσεις μου το Θεώρημα Α1 του Παραρτήματος Α. Πρόκειται για μια μορφή Μαθηματικής Επαγωγής, που χρησιμοποιούμε συχνά στην Άλγεβρα.

8^η Εβδομάδα: 30 Μαρτίου - 3 Απριλίου. Περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης. Δείτε τον Ορισμό αμέσως πριν από την Πρόταση 1.2 των σημειώσεών μου, καθώς και την Πρόταση 1.3, της οποίας η απόδειξη έγινε με εκτενή σχολιασμό.
                                                                     Η έννοια του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη σε ακέραια περιοχή. Δείτε την ενότητα 2 των σημειώσεών μου.
                                                                     Ιδεώδες δακτυλίου, κύριο ιδεώδες, ιδεώδες παραγόμενο από ένα μη κενό υποσύνολο δακτυλίου. Στο [1] δείτε: Ορισμό 2.5.5 και τα Παραδείγματα 2.5.6, καθώς και την Πρόταση 2.5.9 και την αμέσως
                     προηγούμενη από αυτήν παράγραφο. Όρίσαμε την περιοχή κυρίων ιδεωδών (ακέραια περιοχή, της οποίας κάθε ιδεώδες είναι κύριο) και αποδείξαμε, με εκτενή σχόλια, ότι οι δακτύλιοι Z και K[X] (K σώμα)
                                                                     είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών. Συμπτυγμένες οι αποδείξεις, που δόθηκαν (προφανώς, δίχως τα σχόλια που έγιναν κατά τη διάρκεια του μαθήματος) θα βρείτε εδώ.
       Ασκήσεις 36-38 του αρχείου ασκήσεων. Η άσκηση 38, κατά το μεγαλύτερο μέρος της, λύθηκε στο μάθημα, με πολλά σχόλια.
                                                                     Μέγιστος κοινός διαιρέτης. Ενότητα 2 των σημειώσεών μου. Δείτε την άσκηση 2.1 (στο μάθημα λύσαμε το ερώτημα (α)).
9^η Εβδομάδα: 20 - 24 Απριλίου. Ενότητες 3 και 4 των σημειώσεών μου. Από τις σημειώσεις λύθηκαν πολύ λεπτομερώς οι ασκήσεις 2.1(β), 3.1, 3.3 και 4.4(α). Να λύσετε εσείς τις ασκήσεις 2.2, 3.2, 4.1, 4.2, 4.3.

10^η Εβδομάδα: 27 Απριλίου - 1 Μαΐου. Πολυώνυμα με συντελεστές από μία περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Ενότητα 5 των σημειώσεών μου, μέχρι και το Θεώρημα 5.3.

11^η Εβδομάδα: 4 - 8 Μαΐου. (Την Παρασκευή 8 Μαΐου έγινε συμπληρωματικό μάθημα ασκήσεων.) Ολοκληρώθηκε η ενότητα 5 των σημειώσεών μου. Συμπληρώθηκε η λεπτομερής επίλυση της ασκήσεως 4.4.
Λύθηκαν οι πολύ απλές ασκήσεις 5.1, 5.2. Οι πολύ σημαντικές ασκήσεις 5.5 και 5.6 συζητήθηκαν λεπτομερέστατα. Λύθηκε, επίσης, μία άσκηση παρόμοια με το ερώτημα (α) της ασκήσεως 5.7.
Πρέπει να λύσετε όλες τις υπόλοιπες (λίγες) ασκήσεις της ενότητας 5.

12^η Εβδομάδα: 11 - 15 Μαΐου. (Την Παρασκευή 15 Μαΐου έγινε συμπληρωματικό μάθημα.) Δακτύλιος πηλίκο. Βλ. βιβλίο [1], ενότητα 2.6 μέχρι και την Πρόταση 2.6.1.
Πρώτα και μεγιστικά ιδεώδη. Βλ. βιβλίο [1], ενότητα 2.10 μέχρι και το Πόρισμα 2.10.7. Συμπληρωματικά, η ενότητα 6 των σημειώσεών μου, μέχρι και την άσκηση 6.4

13^η Εβδομάδα: 18 - 22 Μαΐου. Πρώτο Θεώρημα Ισομορφισμών Δακτυλίων. Βλ. βιβλίο [1], Θεώρημα 2.6.6. Λύθηκαν οι περισσότερες από τις ασκήσεις της ενότητας 6 των σημειώσεών μου, από την 6.5 και μετά, εκτενέστατα σχολιασμένες.
Ιδιαίτερα σημαντική είναι η άσκηση 6.13, που δίνει ένα παράδειγμα κατασκευής σώματος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων (στη συγκεκριμένη άσκηση, το πλήθος είναι 8). Η άσκηση αυτή λύθηκε λεπτομερέστατα.
Ισχυρή σύσταση: Λύσετε την παρόμοια άσκηση 6.14, η οποία ζητά την κατασκευή ενός σώματος με 9, ακριβώς, στοιχεία.

Δευτέρα 22 Μαΐου, ώρα 9. Συμπληρωματικό μάθημα ασκήσεων. Λύθηκαν πολλές από τις ασκήσεις της ενότητας 6 των σημειώσεών μου. Επίσης λύθηκε η άσκηση 5.7, που "δένει" με την άσκηση 6.15. Σαν εργαλείο χρησιμοποιήθηκε η
πολλαπλότητα ρίζας πολυωνύμου μιας μεταβλητής.

Τελευταία ενημέρωση: 9-9-2015