Άλγεβρα ΙΙ - Μεταπτυχιακό

Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

Φθινοπωρινό Εξάμηνο 2016

Διαλέξεις στην αίθουσα Β 212: Δευτέρα 11:00'-1:00' και Πέμπτη 11:00'-1:00'.

  Ώρες γραφείου (γραφείο Γ 313):  Δευτέρα και Πέμπτη, μετά το μάθημα

Γραπτή τελική εξέταση: 25 Ιανουαρίου 2017, ώρα 11, στην αίθουσα A208

• Περιγραφή του μαθήματος
  Αδρή περιγραφή της βασικής ύλης (η βασική ύλη θα επεκταθεί, ανάλογα με την πορεία του μαθήματος).
  Γι' αυτή τη βασική ύλη, το μάθημα θα στηριχθεί σε κάποια κεφάλαια των εξαιρετικών σημειώσεων του  R.B. Ash: Abstract Algebra-The Basic Graduate Year.

  • Επεκτάσεις σωμάτων. Σώματα διάσπασης. Αλγεβρικώς κλειστά σώματα. Διαχωρισιμότητα. Κανονικές επεκτάσεις. Βασικό βοήθημα το Κεφάλαιο 3 των σημειώσεων του R.B. Ash.

  • Η ομάδα Galois μιας επέκτασης και ενός πολυωνύμου. Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois. Υπολογισμός της ομάδας Galois ενός πολυωνύμου.
    Πεπερασμένα σώματα. Κυκλοτομικά σώματα. Κυκλικές επεκτάσεις και επεκτάσεις Kummer. Επιλυσιμότητα με ριζικά. Υπερβατικές εξετάσεις. Βασικό βοήθημα το Κεφάλαιο 6 των σημειώσεων του R.B. Ash.

• Εξεταστικό σύστημα
  Περίπου κάθε δεύτερη εβδομάδα, θα παραδίδετε ασκήσεις. Το αρχείο θα το γράφετε σε LaTeX και θα το στέλνετε στην ηλεκτρονική διεύθυνσή μου (tzanakis@uoc.gr) σε μορφή pdf, σε καθορισμένες ημερομηνίες. Θα υπάρχει μια υποχρεωτική για όλους έξτρα συνάντηση, σε καθορισμένη ημέρα, τουλάχιστον μία φορά στις δύο εβδομάδες, στην οποία θα ζητώ να λύνετε στον πίνακα μία ή περισσότερες από τις ασκήσεις, που ήδη έχετε παραδώσει. Η απόδοση στις ασκήσεις θα έχει βάρος 0.25, εφ' όσον στην τελική εξέταση έχετε επιτυχία > 50%.             

• Βιβλιογραφία για θέματα προπτυχιακής Άλγεβρας
  [1]  "Μια εισαγωγή στην Άλγεβρα" των Δ.Α. Βάρσου, Δ.Ι. Δεριζιώτη, Ι.Π. Εμμανουήλ, Μ.Π. Μαλιάκα, Ο.Π. Ταλέλλη, έκδόσεις "Σοφία", Αθήνα, 2012.                     

1η εβδομάδα: 19-23 Σεπτεμβρίου.  Επανάληψη και υπενθύμιση κάποιας ύλης της προπτυχιακής Άλγεβρας, η οποία βρίσκεται, π.χ. στις  ενότητες 2.5 και 2.6 του [1]. Ιδεώδη, Γεννήτορες Ιδεώδους, Δακτύλιοι-πηλίκα, Περιοχές Κυρίων Ιδεωδών (ΠΚΔ). Κεντρικής σημασίας ΠΚΔ: Z και F[X], όπου F είναι σώμα. Στην Άλγεβρα, οι ΠΚΔ είναι μάλλον εξαίρεση, παρά κανόνας. Συζητήσαμε παράδειγμα ακέραιας περιοχής, η οποία δεν είναι ΠΚΔ. Συζητήσαμε εκτενέστατα τη γενίκευση της έννοιας "υπόσωμα" και αποδείξαμε το εξής Θεώρημα: Έστω σώμα F και ανάγωγο πολυώνυμο p(X) του F[X]. Τότε υπάρχει ένα σώμα K, το οποίο περιέχει ως υπόσωμά του το F, και στοιχείο u του K, έτσι ώστε, το u να είναι ρίζα του p και K=F[u] (=σύνολο των πολυωνυμικών εκφράσεων του u, με συντελεστές στο K).
1^ο Φυλλάδιο Ασκήσεων: Παραδοτέες, μέχρι την Παρασκευή  30/9, ώρα  8 μ.μ., γραμμένες σε LaTeX ή κάποια εξέλιξή του. Sτέλνετε το αρχείο pdf στη διεύθυνση tzanakis@uoc.gr

2η εβδομάδα: 26-30 Σεπτεμβρίου.  Μια κατά προσέγγιση περιγραφή της ύλης, που διδάχθηκε: Ολοκληρώθηκε το τμήμα του Κεφαλαίου 3 των σημειώσεων του R.B. Ash, μέχρι το Θεώρημα 3.2.3.
2^ο Φυλλάδιο Ασκήσεων: Παραδοτέες μέχρι την Παρασκευή  14/10, ώρα  8 μ.μ., γραμμένες σε LaTeX ή κάποια εξέλιξή του. Sτέλνετε το αρχείο pdf στη διεύθυνση tzanakis@uoc.gr

3η εβδομάδα: 3-7 Οκτωβρίου.  Μια κατά προσέγγιση περιγραφή της ύλης, που διδάχθηκε: Κεφάλαιο 3 των σημειώσεων του R.B. Ash, από τον Ορισμό 3.2.4 μέχρι και την Πρόταση 3.4.5.

4η εβδομάδα: 10-14 Οκτωβρίου. Δείτε το Κεφάλαιο 1 των σημειώσεών μου.  3^ο Φυλλάδιο Ασκήσεων: Η άσκηση 6 αναφέρεται στην ύλη της επόμενης εβδομάδας. Παραδοτέες μέχρι την Παρασκευή  28/10, ώρα  8 μ.μ., γραμμένες σε LaTeX ή κάποια εξέλιξή του. Sτέλνετε το αρχείο pdf στη διεύθυνση tzanakis@uoc.gr

5η εβδομάδα: 17-21 Οκτωβρίου.  Ενότητα 3.5, η οποία ολοκληρώνεται με το Θεώρημα 3.5.12, από το Κεφάλαιο 3 των σημειώσεων του R.B. Ash. (Δεν ασχοληθήκαμε με το "Παράρτημα στο Κεφάλαιο 3".) Μπήκαμε στο Κεφάλαιο της Θεωρίας Galois  μέχρι και την Πρόταση 6.1.2. Αυτή η ύλη, συζητήθηκε στην τάξη πολύ πιο αναλυτικά απ' ότι στις σημειώσεις του Ash.
Ισχυρή σύσταση: Να μελετήσετε τις αποδείξεις, που γίνονται στο μάθημα. Στην εξέταση του μαθήματος θα περιλαμβάνεται και θεωρία.
Την Τετάρτη 19 Οκτωβρίου, ώρα 11-1, έγινε συνάντηση αποκλειστικά για τη συζήτηση των ασκήσεων του 2^ου Φυλλαδίου Ασκήσεων. 

6η εβδομάδα: 24-28 Οκτωβρίου. Από το Κεφάλαιο της Θεωρίας Galois, λεπτομερής απόδειξη της Προτάσεως 6.1.3 και του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Θεωρίας Galois (για πεπερασμένες επεκτάσεις) 6.2.1. Εφαρμόσαμε αυτό το θεώρημα στην επέκταση E/Q όπου E είναι το σώμα ανάλυσης του X⁴ - 2 πάνω απ'ο το Q. Για μια εκτενή πραγμάτευση αυτού του παραδείγματος δείτε στις σημειώσεις μου του προπτυχιακού μαθήματος της Θ. Σωμάτων το Παράδειγμα 3, στη σελίδα 28, και τη συνέχειά του στη σελίδα 35.     

7η εβδομάδα: 31 Οκτωβρίου - 4 Νοεμβρίου. Συνεχίσαμε τη συζήτηση του αριθμητικού παραδείγματος της προηγούμενης εβδομάδας. Ύστερα ασχοληθήκαμε με τα Πεπερασμένα Σώματα, ενότητα 6.4 στο Κεφάλαιο της Θεωρίας Galois.  4^ο Φυλλάδιο Ασκήσεων: Τις ασκήσεις 1-4 θα παραδώσετε μέχρι την Παρασκευή 18/11, ώρα 8 μ.μ. Την άσκηση 5 θα παραδώσετε μέχρι την Παρασκευή 25/11, ώρα 8 μ.μ.

Διαγράμματα σε LaTeX: Χρησιμοποιείστε το πακέτο tikz-cd. Για παράδειγμα, αυτός ο κώδικας θα δημιουργήσει αυτό το διάγραμμα. Για (πάρα πολύ) περισσότερες δυνατότητες του tikz-cd, εδώ. 

8η εβδομάδα: 7- 11 Νοεμβρίου. Την Τετάρτη 9/11 είχαμε συνάντηση για την επίλυση των ασκήσεων του 3^ου φυλλαδίου. Κυκλοτομικά σώματα. ενότητα 6.5 στο Κεφάλαιο της Θεωρίας Galois.  Διακρίνουσα πολυωνύμου. Βλ. ενότητα 6.6 του κεφαλαίου της Θεωρίας Galois, μέχρι και την Πρόταση 6.6.2. Στις σημειώσεις μου πρόσθεσα ένα κεφάλαιο με κάποιες αλγεβρικές προτάσεις, που χρησιμοποιούμε, δίχως να τις έχομε αποδείξει προς το παρόν.

9η εβδομάδα: 14- 18 Νοεμβρίου. (Έγινε μόνο το μάθημα της Δευτέρας· την Πέμπτη 17/11 ήταν αργία) . Ολοκληρώθηκε η ενότητα 6.6 του κεφαλαίου της Θεωρίας Galois.  5^ο Φυλλάδιο Ασκήσεων: Παραδοτέες μέχρι τη Δευτέρα 5/12, ώρα 8 μ.μ.

10η εβδομάδα: 21- 25 Νοεμβρίου. Eνότητα 6.7 και εισαγωγή στην ενότητα 6.8 (υπο-ενότητα 6.8.1) από το κεφάλαιο της Θεωρίας Galois. 

11η εβδομάδα: 28 Νοεμβρίου - 2 Δεκεμβρίου.  Ολοκληρώθηκε η ενότητα 6.8 του κεφαλαίου της Θεωρίας Galois. Την Τετάρτη 30/11 έγινε συνάντηση για τη λύση των ασκήσεων του 4^ου φυλλαδίου ασκήσεων (αυτό της 7^ης εβδομάδας).

12η εβδομάδα: 5- 9 Δεκεμβρίου.  Υπερβατικές επεκτάσεις: Ενότητα 6.9 του κεφαλαίου της Θεωρίας Galois. Στο ίδιο κεφάλαιο, προχωρήσαμε στη μελέτη της ομάδας Galois του τεταρτοβαθμίου πολυωνμου. Δεν ολοκληρώσαμε. Καλύψαμε -με περισσότερες λεπτομέρειες- την ύλη που περιέχεται, από την παράγραφο αμέσως πριν από το Λήμμα Α6.7, μέχρι και την Πρόταση Α6.11. 6^ο Φυλλάδιο Ασκήσεων: Παραδοτέες μέχρι την Τετάρτη 22/12, ώρα 20:00'.

13η εβδομάδα: 12- 16 Δεκεμβρίου.  Πρόταση Α6.12 του κεφαλαίου της Θεωρίας Galois. Μετά προχωρήσαμε σε κλασικά γεωμετρικά προβλήματα: Ποια κανονικά πολύγωνα κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη. Για το θέμα αυτό μπορείτε να δείτε το Θεώρημα 2.3.2 στις σημειώσεις μου του προπτυχιακού μαθήματος Θ. Σωμάτων. Καλόν είναι να βεβαιωθείτε ότι ξέρετε την ενότητα 1.2 των ίδιων σημειώσεων (συζητήσαμε σχετικά στο μάθημα). Τέλος, συζητήθηκε η κατασκευή του κανονικού 17-γώνου.

Γραπτή τελική εξέταση: 25 Ιανουαρίου 2017, ώρα 11, στην αίθουσα A208.

Τελευταία ενημέρωση: 22-12-2016