Θεωρία Σωμάτων (MΕΜ 227)

Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

Εαρινό Εξάμηνο 2016

Διαλέξεις στην αίθουσα Α 208: Τρίτη 1:00'-3:00' και Πέμπτη 1:00'-3:00'.

  Ώρες γραφείου (γραφείο Γ 313):  Τετάρτη 11:15'-12:45'

Τα θέματα της εξέτασης του Σεπτεμβρίου

Τα θέματα της εξέτασης Ιουνίου

• Περιγραφή του μαθήματος
  Αδρή περιγραφή της ύλης:

  • Επεκτάσεις σωμάτων. Βάση και διάσταση μιας επέκτασης. Πεπερασμένες και άπειρες επεκτάσεις. Αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί.

  • Πεπερασμένα σώματα.

  • Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη.

  • Σώμα ριζών πολυωνύμου.

  • Η ομάδα των αυτομορφισμών μιας επέκτασης. Αντιστοιχία Galois.

  • Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois. Επιλυσιμότητα πολυωνυμικής εξίσωσης με ριζικά. Δεν υπάρχει τύπος, που να λύνει τη γενική πεμπτοβάθμια εξίσωση, χρησιμοποιώντας τις τέσσερις πράξεις της Αριθμητικής και ριζικά.

  • Για ποιους ακεραίους n είναι δυνατή η κατασκευή του κανονικού n-γώνου, με κανόνα και διαβήτη.

• Βιβλία-Σημειώσεις

•                                      

• Εξεταστικό σύστημα. Μία τελική εξέταση κατά την εξεταστική περίοδο του Ιουνίου.
  
  
  

• Ημερολόγιο του μαθήματος

  Σε κάθε μία από τις επόμενες εβδομάδες θα αναρτάται η ύλη που διδάχθηκε εκείνη την εβδομάδα.
  Πρόκειται για σύντομη περιγραφή της ύλης και όχι για διδακτικές σημειώσεις και δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση. Είναι χρησιμώτατη, αλλά κυρίως για όσους παρακολουθούν τις διαλέξεις.
  
  Θα αναρτώνται, επίσης, ασκήσεις, μερικές από τις οποίες θα λύνονται στο μάθημα των ασκήσεων. Οι υπόλοιπες είναι για δική σας μελέτη

Χρήσιμη Αλγεβρική Εργαλειοθήκη  (τελευταία ενημέρωση  12-3-2016)

1^η Εβδομάδα: 8-12 Φεβρουαρίου.  Ενότητα 1.1 των  Σημειώσεων. 
                                                           Σημαντικό! Στην απόδειξη του πολύ σημαντικού Θεωρήματος 1.1.3 γίνεται εκτεταμένη χρήση των Προτάσεων Α'.2 (3) και Α'.4 (1), που θα τις βρείτε στο Παράρτημα Α', στο τέλος των Σημειώσεων. 
                                                           Οι προτάσεις αυτές θα χρησιμοποιούνται συχνά.                            
                                                           Με τη βοήθεια του Online Magma Calculator μπορείτε να κάνετε αλγεβρικούς υπολογισμούς σε επεκτάσεις του Q. Δείτε εδώ ένα υπόδειγμα τέτοιου υπολογισμού. 
                                                           Ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Πρέπει να τις λύσετε οπωσδήποτε τώρα. Αν όχι, θα "χαθείτε" πολύ σύντομα.
                                                           Για τις ερωτήσεις, που ζητείται χρήση του magma, δείτε και εκτελέστε (αντιγράφοντάς το στο παράθυρο δεδομένων του Online Magma Calculator) αυτό το υπόδειγμα για υπολογισμό σε διαδοχικές επεκτάσεις.                                       
                                                           Ανάλογα με την άσκηση, πρέπει να αλλάζετε τον ορισμό των v και w.                                                                 

2^η Εβδομάδα: 15-19 Φεβρουαρίου.  Ολοκληρώθηκε η ενότητα 1.1 των  Σημειώσεων, με σχολαστική συζήτηση πολλών παραδειγμάτων. Ειδικώτερα, λύθηκε λεπτομερώς η "υποδειγματική άσκηση", η οποία περιέχεται (μαζί με τη λύση της) στις ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Μελετήστε καλά τη λύση της για να την καταλάβετε εις βάθος και μετά λύσετε την άσκηση 1 από τις ασκήσεις αυτής της εβδομάδας.    

3^η Εβδομάδα: 22-26 Φεβρουαρίου.  Ενότητα 1.2 και το μεγαλύτερο μέρος της ενότητας 1.3 των  Σημειώσεων.   Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας.   

4^η Εβδομάδα: 29 Φεβρουαρίου - 4 Μαρτίου.   Ολοκληρώθηκε η ενότητα 1.3 και προχωρήσαμε στην ενότητα 1.4 των  Σημειώσεων. Στη μελέτη σας θα είναι χρήσιμο να κοιτάξετε το "εργαλείο" 8 της  Χρήσιμης Αλγεβρικής Εργαλειοθήκης.  Συζητήσαμε εφαρμογές του Θεωρήματος 1.4.4.  Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Η άσκηση 5 είναι εξαιρετικά σημαντική! 

5^η Εβδομάδα: 7-11 Μαρτίου.  Ολοκληρώθηκε η ενότητα 1.4 Σημειώσεων, δίχως τα Θεωρήματα 1.4.4 και 1.4.5.  Συζητήθηκαν  εκτενώς διάφορες "λεπτομέρειες" και λύθηκε με μεγάλη σχολαστικότητα η άσκηση 1 των ασκήσεων αυτής της εβδομάδας. Είναι απολύτως απαραίτητο να λύσετε τις ασκήσεις 2 και 3. Δείτε την τελευταία ενημέρωση της εργαλειοθήκης .

6^η Εβδομάδα: 14 - 18 Μαρτίου.  Ενότητα 2.1 των Σημειώσεων. Το Παράδειγμα 1 συζητήθηκε λεπτομερώς. Τα Παραδείγματα 2 και 3 είναι απαραίτητα για την προσωπική σας μελέτη. Λύθηκε και συζητήθηκε σχολαστικά η άσκηση 4 των ασκήσεων αυτής της εβδομάδας.   

7^η Εβδομάδα: 21 - 25 Μαρτίου.  Ολοκληρώσαμε την πραγμάτευση του Παραδείγματος 2 της ενότητας 2.1 των Σημειώσεων και  προχωρήσαμε στην ενότητα 2.2 και συζητήσαμε εκτενώς τα θέματα αυτής της ενότητας μέχρι πριν από τον Ορισμό 2.2.5. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Δείτε στην εργαλειοθήκη τους τύπους του Viète (εργαλείο 10). 

8^η Εβδομάδα: 28 Μαρτίου - 1 Απριλίου.   Ενότητα 2.2 των Σημειώσεων από τον Ορισμό 2.2.5 μέχρι και το Θεώρημα 2.2.11. Μελετήστε μόνοι σας τα Παραδείγματα 1 και 2 αμέσως μετά την εκφώνηση του Θεωρήματος 2.2.11.  Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Στο μάθημα λύσαμε λεπτομερώς την άσκηση 1 και την άσκηση 2 μέχρι και το ερώτημα (δ'). Απαντήστε εσείς στα ερωτήματα (ε') - (ζ).  Διόρθωση τυπογραφικού λάθους στο (ζ) της ασκήσεως 2, στις 21/5.

9^η Εβδομάδα: 4 - 8 Απριλίου.  Τα μαθήματα αυτής της εβδομάδας υπήρξαν, κατ' ουσίαν, εργαστηριακά. Δουλέψαμε πολύ λεπτομερειακά τα Παραδείγματα της ενότητας 2.2 των Σημειώσεων. Με τον ίδιο τρόπο θα δουλέψετε τις ασκήσεις αυτής της εβδομάδας.

10^η Εβδομάδα: 11 - 15 Απριλίου.  Κανονικές υποομάδες και ομάδες-πηλίκα. Αυτές οι έννοιες είναι απαραίτητες στη Θεωρία Galois και συζητήθηκαν εκτενώς και με παραδείγματα. Συνιστώμενο βοήθημα: J.B. Fraleigh "Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα" (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης), ενότητα 2.3 και ενότητα 2.4, μέχρι και το Θεώρημα 2.11. Ύστερα επανήλθαμε στη Θεωρία Galois και αποδείξαμε το "γεωμετρικό" Θεώρημα 2.3.3 των Σημειώσεων. Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού κάνει χρήση δύο ομαδο-θεωρητικών προτάσεων, τις οποίες συζητήσαμε εκτενώς.  Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Πρόκειται για μία σύνθετη άσκηση, με την οποία θα κάνετε πολύ καλή ανακεφαλαίωση σε όλη τη Θεωρία Galois, που διδάχθηκε μέχρι τώρα.

11^η Εβδομάδα: 18 - 22 Απριλίου. Ξανασυζητήσαμε την απόδειξη του Θεωρήματος 2.3.3 των Σημειώσεων, την οποία είχαμε κάνει την προηγούμενη εβδομάδα. Συζητήσαμε πολύ εκτενώς και με παραδείγματα τις έννοιες της ριζικής επέκτασης και επιλύσιμου με ριζικά πολυωνύμου. Συνοπτικά, αυτά εκτίθενται στην αρχή της ενότητας 2.4 των Σημειώσεων, μέχρι πριν την εκφώνηση του Θεωρήματος 2.4.2. Συζητήσαμε την επίλυση με ριζικά του γενικού τριτοβάθμιου και τεταρτοβάθμιου πολυωνύμου. Δείτε τις ενότητες 2.5.1 και 2.5.2 των Σημειώσεων. Εξηγήσαμε εκτενώς γιατί το γενικό τριτοβάθμιο και το γενικό τεταρτοβάθμιο πολυώνυμο είναι επιλύσιμο με ριζικά, υπό την έννοια του Ορισμού 2.4.1 των Σημειώσεων. Την περίοδο των διακοπών είναι βασικό να λύσετε τις ασκήσεις της προηγούμενης εβδομάδας.  Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας.

                   Διακοπές του Πάσχα

12^η Εβδομάδα: 9 - 13 Μαΐου. Ολοκληρώθηκε η λεπτομερής ανάπτυξη της ενότητας 2.4 των Σημειώσεων. Δεν έγινε η απόδειξη της Προτάσεως 2.4.7, ούτε οι βοηθητικές προτάσεις της υπο-ενότητας 2.4.1 (η (α') έχει αποδειχθεί σε προηγούμενο μάθημα). Αυτές θα συζητηθούν την επόμενη εβδομάδα, εν είδει ασκήσεων. Αντί ασκήσεων αυτής της εβδομάδας, μελετήστε προσεκτικά τις αποδείξεις της ενότητας 2.4.  Μικρά τμήματα αυτών των αποδείξεων, αυτούσια ή με κάποιες μικρές παραλλαγές, θα είναι θέματα της εξέτασης.

13^η Εβδομάδα: 16 - 20 Μαΐου. Το μάθημα αφιερώθηκε στη συζήτηση αποριών.

                                                  Την Πέμπτη 26 Μαΐου, ώρα 10:30', μπορείτε να έλθετε στην αίθουσα Α208 για τις απορίες σας.

Τελευταία ενημέρωση: 14-9-2016