ΜΕΜ 223 (Μ 2211): Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ 

                                                                                         Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15

                                                                        Διδάσκων: Ν.Γ. Τζανάκης - Γραφείο Γ 313

                                                       Τα θέματα της εξέτασης της 28^ης Αυγούστου 2015                                                                                                          

                                                      Τα θέματα της εμβόλιμης εξέτασης του Ιουνίου 2015

                                           Τα θέματα της εξέτασης της 14^ης Ιανουαρίου 2015  
                                                         
                                                    

Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 5-7 και Πέμπτη 5-7

Αίθουσα διδασκαλίας: Ε 204

Εξεταστικό σύστημα:  Ο βαθμός θα προκύψει μόνο από την τελική γραπτή εξέταση.

Ώρες γραφείου: Τετάρτη και Παρασκευή στις 3.
                             Παρακαλώ, να με αναζητάτε στις 3, ακριβώς, στην αίθουσα Β214, όπου θα τελειώνω εκείνη την ώρα το μάθημα "Θεωρία Αριθμών στην Εκπαίδευση".
                                    Τρίτη και Πέμπτη στις 4:30'.
                             Αυτές τις μέρες μόνο αν έχει προηγηθεί συνεννόηση μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου.
 

Σύγγραμμα: 1) Μια εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα των Δ. Βάρσου, Δ. Δεριζιώτη, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκα, Α. Μελά, Ο. Ταλέλλη.
                          Όταν αναφέρομαι στη νέα (2012) έκδοση του βιβλίου (ένας τόμος, αυτή θα πάρετε μέσω "Ευδόξου"), θα έχω την ένδειξη ΝΕ. Θα δίνω, επίσης, αναφορά και στην παλαιότερη (2008) δίτομη  
                          έκδοση, με την ένδειξη ΠΕ1 για τον πρώτο τόμο και ΠΕ2 για τον δεύτερο.
                          2) Εξαιρετικό σύγγραμμα, πολύ ταιριαστό με το στυλ του μαθήματος, είναι το το βιβλίο των Kenneth Hoffman & Ray Kunze Linear Algebra.
                           Το συστήνω θερμά ιδιαιτέρως σε όσους ενδιαφέρονται σοβαρά να συνεχίσουν τις μαθηματικές σπουδές τους. Συν τοις άλλοις, θα είναι μια καλή εξάσκηση στην αγγλική ορολογία.
                           Είναι ελεύθερο στο διαδίκτυο (ίσως επειδή είναι παλαιό και, συνεπώς, εκτός εμπορίου), αλλά ίσως χρειαστείτε μισό λεπτό μέχρι να το κατεβάσετε.

Θεωρούνται γνωστές:  Η ύλη του με παλαιότερη ονομασία μαθήματος "Γραμμική Άλγεβρα Ι" (= M1122). Ενδεικτική βιβλιογραφία: Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας Ι του Χρ. Κουρουνιώτη.
                                                    Η ύλη του με παλαιότερη ονομασία μαθήματος "Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ" (= Μ1212). Ενδεικτική βιβλιογραφία: Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας ΙΙ του Χρ. Κουρουνιώτη.
                                                    Οι αναφορές/επαναλήψεις σε θέματα της παραπάνω ύλης θα είναι σύντομες.

Σύντομο ημερολόγιο του μαθήματος: Προειδοποίηση! Οι αναφορές στις παραγράφους του παραπάνω βιβλίου είναι ενδεικτικές μόνο και δεν περιγράφουν λεπτομερώς τις διαλέξεις μου.  Στο ημερολόγιο θα συναντάτε  προτεινόμενες ασκήσεις.  Αυτές, είτε έγιναν στο μάθημα, είτε προτείνονται για δική σας εξάσκηση.

• 1η εβδομάδα μαθημάτων.  Επανάληψη: Διανυσματικοί χώροι. Ορισμοί και παραδείγματα. ΝΕ § 4.1 (= ΠΕ1 § 4.1).
                                                         Διανυσματικοί υπόχωροι. Ορισμοί και παραδείγματα. NE § 4.2: Ορισμός 4.2.1 -  Παράδειγμα 4.2.14 (= ΠE1 § 4.2: Ορισμός 4.2.1 -  Παράδειγμα 4.2.14).
                                                         Γραμμικοί συνδυασμοί. ΝΕ § 4.3: Ορισμός 4.3.1 - Ορισμός 4.3.13 (= ΠΕ1 § 4.3: Ορισμός 4.3.1 - Ορισμός 4.3.13).
                                                         Προτεινόμενες ασκήσεις:  Ασκήσεις 1 και 2, σελ. 151 της ΝΕ (= Ασκήσεις 1 και 2, σελ. 118 της ΠΕ1).
                                                                                                             Ασκήσεις 1-5 σελ. 158-159 της ΝΕ (= Ασκήσεις 1-5 σελ. 158-159  της ΠΕ1).

• 2η εβδομάδα μαθημάτων. Επαναληπτική ύλη της 2^ης εβδομάδας.  
                                                         Προτεινόμενες ασκήσεις:  Αποδείξτε τις προτάσεις που περιέχονται στην "Επαναληπτική ύλη της 2^ης εβδομάδας", ή αναζητείστε τις αποδείξεις στην προτεινόμενη  
                                                                                                             βιβλιογραφία.

                                                                 Προτεινόμενες ασκήσεις:  Αποδείξτε ότι το σύνολο L(V,W), που ορίσαμε στο μάθημα, ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες του διανυσματικού χώρου.
                                                                                                                     (Στο μάθημα αποδείξαμε δύο από αυτές.)

• 3η εβδομάδα μαθημάτων.   Ενότητες 1 και 2 των σημειώσεων.
                                                         Προτεινόμενες ασκήσεις: Όλες που περιέχονται στη μέχρι τώρα ύλη των σημειώσεων (αρκετές έχουν γίνει στην τάξη).

• 4η εβδομάδα μαθημάτων.   Αποδείχθηκαν, η Πρόταση 3.1 και το Θεώρημα 3.3, που βρίσκονται στη σημειώσεων.
                                                           Ύλη επανάληψης: Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Και στο ΝΕ  και στο ΠΕ2, η ύλη βρίσκεται στην § 2.1, μέχρι και την Πρόταση 2.1.9.
                                                           Σας συστήνω να μελετήσετε και τα Παραδείγματα 2.1.10.
                                                            Προτεινόμενες ασκήσεις:  Από τις σημειώσεις  σας συνιστώ ισχυρά να μελετήσετε, όχι μόνο τις ασκήσεις και τα παραδείγματα, αλλά και τις  
                                                                                                                 αποδείξεις όλων των προτάσεων και θεωρημάτων.       

• 5η εβδομάδα μαθημάτων.    Λήμμα 4.5 - Πρόταση 4.9 των σημειώσεων.  Να λύσετε όλες τις ασκήσεις 9 έως και 14 (η άσκηση 14 λύθηκε στην τάξη).       

• 6η εβδομάδα μαθημάτων.    Χώροι με εσωτερικό γινόμενο.  ΝΕ § 5.1 (= ΠΕ2 § 5.1).                               

• 7η εβδομάδα μαθημάτων.    Χώροι με εσωτερικό γινόμενο.  Ενότητα 5 των σημειώσεων, μέχρι το Πόρισμα 5.4. Να λύσετε τις ασκήσεις 15-17.
                                                            Στην τάξη λύθηκε λεπτομερώς το Παράδειγμα 2 της σελ. 652 του ΝΕ (= Παράδειγμα 2 της σελ. 251 του ΠΕ).

• 8η εβδομάδα μαθημάτων.    Ενότητα 5 των σημειώσεων, από το Πόρισμα 5.5 μέχρι και την άσκηση 19. Η άσκηση αυτή λύθηκε στην τάξη, αλλά πρέπει να τη μελετήσετε καλά.

• 9η εβδομάδα μαθημάτων.    Ενότητα 6 των σημειώσεων, μέχρι και την απόδειξη του Θεωρήματος 6.2. Λύθηκαν σχολαστικά οι ασκήσεις 21 και 22. Λύθηκε  επίσης και η άσκηση 15.

• 10η εβδομάδα μαθημάτων.    Ενότητα 6 των σημειώσεων, από το Θεώρημα 6.3 μέχρι και το Θεώρημα 6.7.
                                                              Σημείωση: Η απόδειξη του Θεωρήματος 6.7, που δόθηκε στο μάθημα, είναι σαφώς πιο πολύπλοκη από αυτή των σημειώσεων. Έκανα την απλοποιημένη απόδειξη χάρη σε μια εύστοχη παρατήρηση του
                                                                               φοιτητή Γιάννη Μαρκάκη, τον οποίον ευχαριστώ και συγχαίρω.                   

• 11η εβδομάδα μαθημάτων.    Ενότητα 6 των σημειώσεων, από το Θεώρημα 6.8 μέχρι και τις ασκήσεις 27-28. Κάποιες περιπτώσεις της ασκήσεως 27 και η άσκηση 28 λύθηκαν αναλυτικά στην τάξη.
                                                             Ισχυρή σύσταση να λύσετε πλήρως τις ασκήσεις 26-28.                         

• 12η εβδομάδα μαθημάτων.    Ενότητα 6 των σημειώσεων. Μετά την άσκηση 28 μέχρι και το Θεώρημα 6.10.

• 13η εβδομάδα μαθημάτων.    Ενότητα 6 των σημειώσεων. Πρόταση 6.9 (βλ. και "Ορολογία-σύμβαση" αμέσως πριν από αυτή) έως και το Θεώρημα 6.11.
                                                              Από την ενότητα "Επαναληπτικές ασκήσεις", αμέσως μετά το Θεώρημα 6.11, λύθηκαν όλες στην τάξη, πλην των ασκήσεων 37 και 38.