Θεωρία Αριθμών (MΕΜ 204)

Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

Εαρινό Εξάμηνο 2016

Διαλέξεις στο αμφιθέατρο Α 203: Τετάρτη 9:00'-11:00' και Παρασκευή 1:00'-3:00'.

  Ώρες γραφείου (γραφείο Γ 313):  Τετάρτη 11:15'-12:15'

Υπόδειγμα φύλλου εξέτασης περιόδου Ιουνίου

• Περιγραφή του μαθήματος
  Αδρή περιγραφή της ύλης:

  • Διαιρετότητα. Ευκλείδειος αλγόριθμος. ΜΚΔ, ΕΚΠ.  Πρώτοι αριθμοί. Ανάλυση ακεραίου σε πρώτους παράγοντες. Επίλυση της Διοφαντικής εξίσωσης ax + by = c. Πυθαγόρειες τριάδες.

  • Ισοτιμίες. Συστήματα υπολοίπων. Θεωρήματα Fermat και Euler.

  • Επίλυση ισοτιμιών πρώτου βαθμού. Το "Κινέζικο Θεώρημα υπολοίπων". 

  • Τετραγωνικά ισοϋπόλοιπα και ανισοϋπόλοιπα. Τα σύμβολα Legendre και Jacobi. Νόμος τετραγωνικής αντιστροφής του Gauss. Επίλυση της τετραγωνικής ισοτιμίας μ' έναν άγνωστο.

  • Γεννήτορες και διακριτοί λογάριθμοι.

• Βιβλία-Σημειώσεις

                                     

• Εξεταστικό σύστημα. Μία τελική εξέταση κατά την εξεταστική περίοδο του Ιουνίου.
  
  
  

• Ημερολόγιο του μαθήματος

  Σε κάθε μία από τις επόμενες εβδομάδες θα αναρτάται η ύλη που διδάχθηκε εκείνη την εβδομάδα.
  Πρόκειται για σύντομη περιγραφή της ύλης και όχι για διδακτικές σημειώσεις και δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση. Είναι χρησιμώτατη, αλλά κυρίως για όσους παρακολουθούν τις διαλέξεις.
  
  Θα αναρτώνται, επίσης, ασκήσεις, μερικές από τις οποίες θα λύνονται στο μάθημα των ασκήσεων. Οι υπόλοιπες είναι για δική σας μελέτη.

1^η Εβδομάδα: 8-12 Φεβρουαρίου.  Ενότητες 1.1  και 1.2 των σημειώσεων. Το (β') του Θεωρήματος 1.2.3 δεν διδάχθηκε. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Είναι εύκολες και σκοπό έχουν να ελέγξετε αν έχετε κατανοήσει βασικές γνώσεις, γι' αυτό πρέπει να τις λύσετε τώρα. Αν δεν το κάνετε, πρέπει να σκεφθείτε σοβαρά αν έχει νόημα η εγγραφή σας στο μάθημα.                                 

2^η Εβδομάδα: 15-19 Φεβρουαρίου. Ενότητες 1.3, 1.4 και μέρος της 1.5 των σημειώσεων.  Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας.      

3^η Εβδομάδα: 22-26 Φεβρουαρίου.  Από τις σημειώσεις: Ολοκληρώθηκε η ενότητα 1.5. Μπήκαμε  στο κεφάλαιο 2. Αποδείξαμε τα (α'), (β'), (γ') του Θεωρήματος 2.1.2. Από τις ασκήσεις αυτής της εβδομάδας, λύσαμε τις  1,2 και 4. Οι υπόλοιπες "δικές σας".

4^η Εβδομάδα: 29 Φεβρουαρίου - 4 Μαρτίου. Αποδείξαμε τα (δ'), (ε'), (στ'), (ζ') και (η') του Θεωρήματος 2.1.2.  Προχωρήσαμε στα Συστήματα Υπολοίπων, ενότητα 2.2 των σημειώσεων, μέχρι και την ολοκλήρωση της απόδειξης του Θεωρήματος 2.2.3. Ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. 

5^η Εβδομάδα: 7-11 Μαρτίου.  Ολοκληρώσαμε την ενότητα 2.2 των σημειώσεων και προχωρήσαμε, ολοκληρώνοντας τις ενότητες 3.1 και 3.2 των σημειώσεων. Από τις  ασκήσεις αυτής της εβδομάδας, λύσαμε τις 1, 2, 4, 7, 9, 10 και 11(α').

6^η Εβδομάδα: 14 - 18 Μαρτίου.  Από τις σημειώσεις η ενότητα 3.3 (το "Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων") και από την ενότητα 3.4 το Θεώρημα 3.4.1. Από τις  ασκήσεις αυτής της εβδομάδας, λύσαμε την 1(α') και την 4.

7^η Εβδομάδα: 21 - 25 Μαρτίου.  Από τις σημειώσεις οι ενότητες 4.1 και 4.2 μέχρι και το Θεώρημα 4.2.2.  Ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. 

8^η Εβδομάδα: 28 Μαρτίου - 1 Απριλίου.  Θεώρημα 4.2.3 και η ενότητα 4.3 των σημειώσεων.  Ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. Λύθηκε λεπτομερώς η άσκηση 3. Μιμηθείτε τη λύση της και κάνετε τις ασκήσεις 4 και 5. 

9^η Εβδομάδα: 4 - 8 Απριλίου.  Ενότητα 4.4 των σημειώσεων, οι οποίες έχουν επικαιροποιηθεί στις 9/4. Η ενότητα 4.4 έχει ξαναγραφεί και διαφέρει σημαντικά από την προηγούμενη. Τα δύο πρώτα παραδείγματα της ενότητας 4.4 συζητήθηκαν σχολαστικά στο μάθημα. Εξασκηθείτε καλά με τις ασκήσεις αυτής της εβδομάδας. 

10^η Εβδομάδα: 11 - 15 Απριλίου.   Από τις ασκήσεις αυτής της εβδομάδας λύσαμε τις 1-5. Προχωρήσαμε στο Κεφάλαιο 5 των σημειώσεων, μέχρι και το Θεώρημα 5.1.4.

11^η Εβδομάδα: 18 - 22 Απριλίου.   Κάπως "ελεύθερο" μάθημα. Αναφερθήκαμε "εγκυκλοπαιδικά" στο  Θεώρημα των πρώτων αριθμών, καθώς και σε ένα πολύ απλό και διδακτικό παράδειγμα του Hilbert, ενός υποσυνόλου H του Z, στο οποίο δεν ισχύει η μονοσήμαντη ανάλυση σε πρώτους (του H). Από τις  ασκήσεις αυτής της εβδομάδας, λύσαμε τις 1(α'), 2 και 3.

                   Διακοπές του Πάσχα

12^η Εβδομάδα: 9 - 13 Μαΐου. Από τις σημειώσεις, τα Θεωρήματα 5.1 και 5.6 και η ενότητα 5.2, μέχρι τις "Εφαρμογές", στη σελίδα 86. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας.

13^η Εβδομάδα: 16 - 20 Μαΐου. Από τις σημειώσεις, οι εφαρμογές  α' (Διωνυμικές ισοτιμίες) και β' (εκθετικές ισοτιμίες).  Το υπόλοιπο της ενότητας 5.2 δεν περιλαμβάνεται στην εξεταστέα ύλη. Οι ασκήσεις αυτής της εβδομάδας 

                                                    Την Παρασκευή 27 Μαΐου, ώρα 10:30', μπορείτε να έλθετε στο αμφιθέατρο Α203 για τις απορίες σας.

Τελευταία ενημέρωση: 14-9-2016