Η ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
                                                Μεταπτυχιακό Μάθημα
                                                   
                                                 (Χειμερινό εξάμηνο 2014)
                                                   
                                               Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

                     

ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 
Τετάρτη 1-3 Παρασκευή 1-3  Τετάρτη και Παρασκευή
μετά το μάθημα
Αίθουσα Β-214  Αίθουσα Β-214
  Ώρες γραφείου
                      

Προαπαιτούμενες γνώσεις:
1) Βασική Άλγεβρα (π.χ. η ύλη του προπτυχιακού μαθήματος Άλγεβρα Ι).

2) Οι βασικές γνώσεις Θεωρίας Αριθμών. Για παράδειγμα, από τις σημειώσεις μου  Βασική Αριθμοθεωρία  μελετήστε καλά και βεβαιωθείτε ότι κατέχετε την εξής ύλη:
 Το κριτήριο ότι «μελετήσατε καλά» και «βεβαιωθήκατε ότι κατέχετε» είναι (είμαι απόλυτος), ότι μπορείτε να λύσετε πλήρως όλες τις παραπάνω ασκήσεις. Αυτά σας τα γνωστοποίησα

Η δική σας συμμετοχή στο μάθημα:
1) Πολλές διαλέξεις θα τις κάνετε εσείς. Τί σημαίνει αυτό: Κατά τη διάρκεια του εξαμήνου, καθένας θα πάρει ένα ώς δύο θέματα, τα οποία θα επεξεργαστεί, υπό τη δική μου καθοδήγηση και, σε συγκεκριμένη ημερομηνία, θα παρουσιάσει το θέμα του στους υπόλοιπους. Την ημέρα της παρουσίασης θα έχει έτοιμες σημειώσεις, τις οποίες θα διανείμει σε όλους. Οι σημειώσεις εκάστου θα αποτελούν υλικό για την τελική εξέταση όλων. Άρα, καθένας θα μελετά τις σημειώσεις καθενός άλλου και θα κάνει, αν θέλει, τις παρατηρήσεις του, οι οποίες θα συζητούνται στην αίθουσα. Τυχόν διορθώσεις/συμπληρώσεις θα ενσωματώνονται από τον συγγραφέα των σημειώσεων.
2) Κάθε δύο εβδομάδες, περίπου, θα σας δίνω φυλλάδιο υποχρεωτικών ασκήσεων. Η παράδοση των λύσεών κάθε φυλλαδίου θα γίνεται σε αυστηρά καθορισμένη ημερομηνία. Μετά την παράδοσή τους, κάποιες από αυτές τις ασκήσεις θα παρουσιάζονται από κάποιον από εσάς, που εγώ θα επιλέγω.

Για να υλοποιηθεί πρακτικώς το παραπάνω (1), είναι απαραίτητο να διανέμονται σημειώσεις, οι οποίες, (α) θα είναι ευανάγνωστες, και (β) θα επιδέχονται βελτιώσεις/διορθώσεις, στην περίπτωση που διαπιστωθεί η ανάγκη για κάτι τέτοιο. Επίσης, οι ασκήσεις, όπως στο (2) παραπάνω, θα παραδίδονται ηλεκτρονικά και πρέπει να είναι ευανάγνωστες (είναι τρομερή ταλαιπωρία για τον διδάσκοντα να προσπαθεί να βγάλει άκρη με κακογραμμένα, δυσανάγνωστα, μουτζουρωμένα κείμενα). Αυτό συνεπάγεται ότι πρέπει να γράφετε την εργασία σας χρησιμοποιώντας το μόνο σοβαρό πακέτο μαθηματικής τυπογραφίας (καθιερωμένο παγκοσμίως): Το (La)TeX (το LaTeX έχει περισσότερες ευκολίες από το σκέτο (plain) TeX). Συνεπώς, η γνώση του (La)TeX είναι απαραίτητος όρος για τη συμμετοχή σας στο μάθημα. Αυτόν τον όρο τον κοινοποίησα, μέσω e-mail, σε όλους τους μεταπτυχιακούς ήδη από τις αρχές Ιουλίου και έδωσα οδηγίες ακόμη και εγκατάστασης του σχετικού λογισμικού (πρόκειται για ελέυθερο λογισμικό), σε όσους μου το ζήτησαν. Τώρα είναι πολύ αργά για να σας βοηθήσω ως προς αυτό.
Υποδείγματα αρχείων LaTeX : 
Υπόδειγμα για τη λύση φυλλαδίου ασκήσεων. Αν έχετε εγκατεστημένο το LaTeX και το "τρέξετε" το υπόδειγμα, θα πρέπει να δείτε αυτό εδώ.
Υπόδειγμα συνθετικής εργασίας. Αν έχετε εγκατεστημένο το LaTeX και το "τρέξετε" το υπόδειγμα, θα πρέπει να δείτε αυτό εδώ.                                                        


Βαθμολογία:  Στην τελική βαθμολογία οι ασκήσεις θα έχουν βάρος  20%,  οι παρουσιάσεις σας (συνολικά)  35% και το τελικό διαγώνισμα 45%.

Ημερολόγιο του μαθήματος:       
                                                            24/9/2014: Περί Μαθηματικής Επαγωγής
                                                            
                                                           26/9/2014: 1) Ανατέθηκαν οι ασκήσεις 4, 7 (δίχως χρήση μαθηματικής επαγωγής), 8, 10, 12, 26, 30, 31, 32, 34 από την ενότητα 1.6 της Βασικής Αριθμοθεωρίας.
                                                                                                         Οι ασκήσεις πρέπει να παραδοθούν σε ηλεκτρονική μορφή, μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, το αργότερο μέχρι τη Δευτέρα 6 Οκτωβρίου, ώρα 19.                          
                                                                                 2) Συζητήθηκαν τα θέματα, από τα οποία θα επιλέξετε την πρώτη παρουσίασή σας.
                                                                                 3) Τα θέματα που συζητήθηκαν στην τάξη.
                                                           
                                                            1/10/2014: Τα θέματα που συζητήθηκαν στην τάξη.
                                                                                  Οι τέσσερις ασκήσεις που περιέχονται πρέπει να παραδοθούν ηλεκτρονικά μέχρι τη Δευτέρα 13 Οκτωβρίου, ώρα 19.
                                                            
                                                            3/10/2014: Τα θέματα που συζητήθηκαν στην τάξη.
                                                            
                                                            8/10/2014: Τα θέματα που συζητήθηκαν στην τάξη.
                                                                                  Θα βρείτε μια υπολογιστική άσκηση, στην οποία εμπλέκονται δύο πρώτοι p και q. Καθένας θ' ασχοληθεί μόνο με το ζευγάρι (p,q) το οποίο θα του αναθέσω εγώ
                                                                                  (θα στείλω e-mail). Ημερομηνία παράδοσης: Δευτέρα 20/10 μέχρι ώρα 19, για όσους έχουν αναλάβει παρουσίαση παραδοτέα στις 29/10.
                                                                                                                                                                       Δευτέρα 27/10 μέχρι ώρα 19, για όσους έχουν αναλάβει παρουσίαση παραδοτέα στις 22/10.
                                                            10/10/2014: Συζητήθηκαν με λεπτομέρεια κάποιες από τις δικές σας λύσεις του πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.
                                                           
                                                            15-17/10/2014: Τα θέματα που συζητήθηκαν στην τάξη.
                                                                                        Περιέχονται πέντε ασκήσεις, τις οποίες θα παραδώσετε ηλεκτρονικά μέχρι τη Δευτέρα 3 Νοεμβρίου, ώρα 21.
                                                                                        Στην άσκηση 5, μεταξύ άλλων ζητά ν' αποδείξετε ότι οι 2, 3, 1+i sqrt{5}, 1-i sqrt{5} είναι πρώτοι στην ακέραια περιοχή Z[i sqrt{5}].
                                                                                        Αποδείξτε το μόνο για τον δεύτερο και τον τρίτο αριθμό.
                                                            
                                                             22-24/10/2014: Παρουσιάσεις θεμάτων από τους φοιτητές:
                                                                                         Ν. Κατσάλης:  Οι μόνες γωνίες του (0, π/2) με συνημίτονο τετραγωνική ρίζα ρητού είναι οι π/6, π/4 και π/3.
                                                                                         Ν. Κασμερίδης:  Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος (γεωμετρική απόδειξη), η ν-οστή ρίζα ακεραίου και ο e είναι άρρητοι.         
                                                                                         Π. Χριστοπούλου: Ο αριθμός π^2 είναι άρρητος.  
                                                                                         Χρ. Ιατράκη: Πυθαγόρεις τριάδες και η εξίσωση x^4 + y^4 = z^2 δεν έχει μη τετριμμένες ακέραιες λύσεις.       
                                                           
                                                             29-31/10/2014: Παρουσιάσεις θεμάτων από τους φοιτητές:
                                                                                          Χρ. Κονταράτος: Το θεώρημα του Liouville και  η κατασκευή υπερβατικού αριθμού.  
                                                                                          Χρ. Δασκαλάκη:  Γιατί οι κηρήθρες είναι εξαγωνικές.  
                                                                                          Σωτ. Καλπάκογλου:  Τέλειοι αριθμοί, αριθμοί Mersenne και πρώτοι Mersenne (ενότητα 3). 
                                                              5-7/11/2014:    Παρουσιάσεις θεμάτων από τους φοιτητές:
                                                                                         Σωτ. Καλπάκογλου: (συνέχεια) Το τεστ Lucas-Lehmer (ενότητα 4).
                                                                                         Μαν. Καπνόπουλος: Ο Συνεχή κλάσματα.  
                                                                                         Παρουσίασα τρεις εφαρμογές των συνεχών κλασμάτων.
                                                                                           (α) Εφαρμογή 1: Οι ρητές προσεγγίσεις, που παίρνει κανείς μέσω συνεχών κλασμάτων είναι πολύ καλλίτερες από αυτές που παίρνει μέσω δεκαδικών προσεγγίσεων.
                                                                                           (β) Εφαρμογή 3: Να υπολογιστούν όλα τα πρώτα μεταξύ τους ζεύγη  φυσικών αριθμών (x,y) με y<1050 που επαληθεύουν την ανισότητα |πx2- ey2|< 1/4.    
                                                           12-14/11/2014:    (γ) Εφαρμογή 2: Επίλυση της εξίσωσης Pell x2- Dy2 = 1 με τη βοήθεια συνεχών κλασμάτων.
                                                                                           Η κυβική εξίσωση του Fermat.
                                                               
                                                      9/11 - 26/11/2014:   Άθροισμα δύο τετραγώνων. Εισαγωγικά.

                                                                  28/11/2014:   Άθροισμα δύο τετραγώνων.Το Θεώρημα 4 και μια εισαγωγή στα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες (lattic points). Οι αποδείξεις έγιναν πλήρως.

                                                                   3/12/2014:    Άθροισμα δύο τετραγώνων. Όλα τα σχετικά με τα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες (lattic points) αναλυτικά.
                                                                                           Μικρή αναφορά στη "σειρά Farey" του διαστήματος [0 , 1].

                                                                   5/12/2014:     Η ισοτιμία x2 = a (mod pn) και, γενικώτερα, η ισοτιμία x2 = a (mod m), όταν (a,m)=1. Δείτε ενότητα 4.4 των σημειώσεών μου Θεμελιώδης Θεωρία Αριθμών.
                                                                                            Εξ αφορμής της μορφής των λύσεων της ισοτιμίας x2 = a (mod pn), έγινε μικρή εισαγωγή στους p-αδικούς αριθμούς, την p-αδική απόλυτη τιμή και την έννοια της
                                                                                            σύγκλισης στους p-αδικούς αριθμούς.

                                                                   10/12/2014:   Αποδείξαμε το Θεώρημα του Lagrange: Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων (δεκτά και τα τετράγωνα 02).
                                                                                           Καμπύλες του επιπέδου, που ορίζονται από εξισώσεις f(x,y)=0, όπου το f είναι πολυώνυμο  με ρητούς συντελεστές, βαθμού n. Εξηγήσαμε πώς, όταν γνωρίζομε
                                                                                           ένα ρητό σημείο πάνω σε καμπύλη δευτέρου βαθμού, τότε μπορούμε να υπολογίσομε τους διπαραμετρικούς τύπους, οι οποίοι μας παρέχουν όλα τα σημεία
                                                                                           της καμπύλης με ακέραιες συντεταγμένες. Εφαρμογή στην εξίσωση 2x2 + 3y2 = 5z2.

                                                                   12/12/2014:   Συνεχίζοντας στο πνεύμα του προηγουμένου μαθήματος, κάναμε μια εισαγωγή στις ελλειπτικές καμπύλες, στο τί σημαίνει άθροισμα σημείων μιας ελλειπτικής
                                                                                            καμπύλης, καθώς και ακέραιο πολλαπλάσιο ενός σημείου ελλειπτικής καμπύλης. Ομάδα Mordell-Weil.
                                                                                            Δείτε τις An Introduction to the Theory of Elliptic Curves του J.H. Silverman, κυρίως τις σελίδες 5, 7, 9-21, 27, 32, 38 και 39
                                                                                            (δεν είπαμε για το θεώρημα του B. Mazur, που θα δείτε στη σελίδα 39).
                                                                                            Παράδειγμα εξάσκησης με ελλειπτική καμπύλη χρησιμοποιώντας το online magma calculator.
                                                                                            Στο κενό "κουτί" αντιγράψτε (copy-paste) αυτό το αρχείο και πατήστε "submit".
                                                                                            Εξασκηθήτε και με άλλες ελλειπτικές καμπύλες y2 = x3 + ax + b, με (a,b) που θα βρείτε σε αυτό το αρχείο.
                                                                  
                                                                   17/12/2014:   Τα βασικά της Κρυπτογραφίας Δημοσίου Κλειδιού.
                                                                                            Ανταλλαγή κλειδιών κατά Diffie-Hellman. Το πρόβλημα Diffie-Hellman και το πρόβλημα Διακριτού Λογαρίθμου. 
                                                                                            Κρυπτογράφηση RSA.
                                                                                            Για τα θέματα αυτά δείτε Κρυπτογραφία Δημοσίου κλειδιού τις δύο πρώτες σελίδες και από το κεφάλαιο 2 τις ενότητες 2.1.1, 2.1.2 και 2.1.3.
                                                                                            Παράδειγμα εξάσκησης με την RSA, χρησιμοποιώντας το online magma calculator. Στο κενό "κουτί" αντιγράψτε (copy-paste) αυτό το αρχείο και πατήστε "submit".
                                                                                            Κάνετε διάφορα δικά σας παραδείγματα επιλέγοντας τα p,q,e κλπ.

                                                                   19/12/2014:   Συζητήσαμε τα εξής θέματα:
                                                                                            (α)Έστω πραγματικός άρρητος αριθμός b, τη δεκαδική προσέγγιση του οποίου μπορούμε να υπολογίσομε με οσοδήποτε πολλά ψηφία.
                                                                                                  Αν θέλομε να αναπτύξομε τον b σε συνεχές κλάσμα, αυτό που κάνομε στην πράξη είναι να αναπτύξομε σε συνεχές κλάσμα μια ικανοποιητική δεκαδική 
                                                                                                  προσέγγιση του b. Αλλά πώς μπορεί να είμαστε βέβαιοι ότι η προσέγγιση που χρησιμοποιήσαμε είναι αρκετή για να είναι τα πρώτα n μερικά πηλίκα
                                                                                                  (για δεδομένο n) σωστά;
                                                                                             (β) Στο πνεύμα του μαθήματος της 12/12 εφαρμόσαμε τη μέθοδο της εφαπτομένης στην καμπύλη x3- y3=a3- b3 (a,b θετικοί ρητοί με a>b), έτσι ώστε,
                                                                                                   ξεκινώντας από το σημείο (x,y)=(-b,-a) και φέρνοντας την εφαπτομένη σε αυτό, να υπολογίσομε το τρίτο κοινό σημείο της εφαπτομένης με την καμπύλη,
                                                                                                   το οποίο θα είναι μια νέα λύση της εξίσωσης.
                                                                                         


(τελευταία ενημέρωση 29/12/2014)