Θεωρία Δακτυλίων & Modules   (M2224)

Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

Τα θέματα της εξεταστικής περιόδου Σεπτεμβρίου

Τα θέματα της εξεταστικής περιόδου Ιουνίου

         Εαρινό Εξάμηνο 2014
           Διαλέξεις : Δευτέρα 13:00'-15:00' και Τετάρτη 13:00'-15:00', Αίθουσα Α 208,
          
           Ώρες γραφείου (γραφείο Γ 313):   Παρασκευή 12:00' – 14:00'.

• Σκοπός του μαθήματος: Να προετοιμάσει για πιο προχωρημένα και συναρπαστικά μαθήματα, όπως η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών και η Αλγεβρική Γεωμετρία. Η έμφαση θα δοθεί, κυρίως, στη Θεωρία Δακτυλίων. Η βασική ύλη περιγράφεται, σε πολύ αδρές γραμμές, στην ύλη των μαθημάτων της υποομάδας 2.2.

• Απαιτήσεις: Το μάθημα έχει αυξημένες απαιτήσεις:

• Ουσιαστικό ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά και, ειδικότερα, για τα αλγεβρικά μαθήματα.

• Καλή γνώση της ύλης Δακτυλίων, Σωμάτων, Πολυωνύμων του μαθήματος Μ1222-Άλγεβρα. Ενδεικτικά, για την ελάχιστη απαιτούμενη ύλη (κατά προσέγγιση) μπορείτε να ανατρέξετε (επί παραδείγματι) σε ένα εκ των παρακάτω συγγραμμάτων:
  α) Δ. Νταής, "Εισαγωγή στη Θεωρία Δακτυλίων", κεφάλαιο 1, πλην των “επιτύπων δυναμοσειρών”. Σ' αυτή την ιστοσελίδα θα αναφέρεται ως “σημειώσεις Νταή”.
  β) Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, Ο. Ταλέλλη, “Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα” (εκδόσεις Σοφία), ενότητες 2.1-2.4. Σ' αυτή την ιστοσελίδα θα αναφέρεται ως “βιβλίο (β)”.
  γ) J.B. Fraleigh “Εισαγωγή στην Άλγεβρα” (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης), ενότητες 4.1, 4.2, 4.5, 4.6.
  Σ' αυτή την ιστοσελίδα θα αναφέρεται ως “βιβλίο (γ)”.

• Μελέτη κάθε εβδομάδα, διαφορετικά το μάθημα θα σας “αφήσει πολύ πίσω” και θα το χάσετε!

• Αφιέρωση, εκ μέρους των φοιτητών, ικανού χρόνου στην επίλυση ασκήσεων, κάθε εβδομάδα.

• Πολύ ισχυρή σύσταση: Μη δηλώσετε το μάθημα μόνο και μόνο για να συμπληρώσετε μονάδες (“κλείσιμο υποομάδας”). Άδικος κόπος!

• Βοηθήματα:

• Οι σημείωσεις του Δ. Νταή "Εισαγωγή στη Θεωρία Δακτυλίων" περιέχουν μεν αρκετή ύλη εκτός μαθήματος, αλλά είναι πολύ κατάλληλες για το μάθημα.

• Μέρος από αυτά που θα διδαχθούν, περιέχονται στα βιβλία, που αναφέρονται στα (β) και (γ) της προηγούμενης παραγράφου.

• Οι σημειώσεις μου. Αφορούν σημαντικά κεφάλαια της ύλης, η οποία θα διδαχθεί, αλλά όχι όλα. Οι σημειώσεις θα ενημερώνονται κατά την πορεία του μαθήματος.

1^η Εβδομάδα: 17-21 Φεβρουαρίου. Επαναλήψεις στην ύλη των δακτυλίων. Με λεπτομέρεια παρουσιάζονται μόνο κάποια “λεπτά” θέματα. Με ιδιαίτερη σχολαστικότητα παρουσιάστηκε η γενίκευση της έννοιας “υποδακτύλιος” και “υπόσωμα”:

Ο δακτύλιος S είναι υποδακτύλιος του δακτυλίου R αν υπάρχει μονομορφισμός δακτυλίων f: S→R. Ανάλογα, το σώμα K είναι υπόσωμα του σώματος F αν υπάρχει μονομορφισμός σωμάτων f: K→F.

Έγινε σχολαστικά η κατασκευή του σώματος πηλίκων μιας ακέραιας περιοχής. Βλ. ενότητα 3.5 στις σημειώσεις Νταή (αναλυτική παρουσίαση), ή ενότητα 2.7 του βιβλίου (β) (αρκετά συμπτυγμένη παρουσίαση), ή ενότητα 4.4 του βιβλίου (γ) (αναλυτική παρουσίαση).

Προτεινόμενες ασκήσεις αυτής της εβδομάδας: Τίς ασκήσεις αυτές πρέπει να μπορείτε να λύνετε με αρκετή άνεση. Αν όχι, τότε έχετε πρόβλημα και θα πρέπει να ξανασκεφτείτε σοβαρά αν θα πρέπει να κάνετε εγγραφή στο μάθημα!

• Από τις σημείωσεις Νταή:
  Άσκηση 1-1 (σελ. 31). Αποδείξτε τουλάχιστον κάποιες απ' τις ιδιότητες (i)-(vi).
  Άσκηση 1-2 (σελ. 32).
  Άσκηση 1-11 (σελ. 34).
  Άσκηση 1-18 (σελ. 37).
  Άσκηση 1-19 (σελ. 37).
  Άσκηση 1-25 (σελ. 38).
  Άσκηση 1-26 (σελ. 38-39), τουλάχιστον τα ερωτήματα (i), (ii), (iii). Ο συμβολισμός Mat_2x2 (R) σημαίνει το σύνολο των 2x2 πινάκων με εγγραφές (στοιχεία, δηλαδή) από τον δακτύλιο R.
  Άσκηση 1-26 (σελ. 39).
  Άσκηση 1-35 (σελ. 40).
  Άσκηση 1-36 (σελ. 41).
  Άσκηση 1-37 (σελ. 41).
  Άσκηση 1-38 (σελ. 41).
  Άσκηση 1-45 (σελ. 43).
  Άσκηση 1-47 (σελ. 44).

• Επαναληπτικές ασκήσεις στη βασική Θεωρία Δακτυλίων.

2^η Εβδομάδα: 24-28 Φεβρουαρίου. Πολυώνυμα. Προσεγγιστική περιγραφή της ύλης που διδάχθηκε:

• Ενότητα 2.2 του βιβλίου (β), πλην των παραγράφων 2.2.8 και 2.2.9. Η απόδειξη του Θεωρήματος 2.2.1 βρίσκεται προς το τέλος του βιβλίου, στην ενότητα (παράρτημα) 6.3. Δόθηκε βαρύνουσα σημασία στην απόδειξη αυτή. Κάπως αναλυτικότερα, η απόδειξη βρίσκεται και στις σημειώσεις Νταή, ενότητα 1.3, σελ. 20, μέχρι την Παρατήρηση 1.3.2, σελ. 22.
  Άσκηση. Αποδείξτε την προσεταιριστικότητα του πολλαπλασιασμού, όταν τα πολυώνυμα θεωρούνται ως διατεταγμένες “απειράδες”.
  Συμβολισμός. Για τις μεταβλητές των πολυωνύμων θα χρησιμοποιούμε πάντα κεφαλαία λατινικά γράμματα X,Y,Z,...., όπως στις σημειώσεις Νταή. Στο βιβλίο (β) χρησιμοποιούνται μικρά λατινικά γράμματα. Όπου βλέπετε στο βιβλίο x, εσείς να το μετατρέπετε X, και ανάλογα για τα άλλα λατινικά γράμματα, που στο βιβλίο χρησιμοποιούνται για να συμβολίζουν μεταβλητές πολυωνύμων.

• Πολυώνυμα έναντι πολυωνυμικών συναρτήσεων. Δόθηκε ιδιαίτερη έμφαση! Μελετήστε καλά τη Σημείωση 1.3.11, σελ. 28 των σημειώσεων Νταή.

• Διαιρετότητα πολυωνύμων. Ενότητα 2.3 του βιβλίου (β). Το Θεώρημα 2.3.5 παρατηρήσαμε ότι ισχύει όχι μόνο σε ακέραιες περιοχές, αλλά και, γενικότερα, σε μεταθετικούς δακτυλίους με μοναδιαίο. Όμως, σ' αυτή την τελευταία περίπτωση, το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης δεν είναι μονοσημάντως ορισμένα.

3^η Εβδομάδα: 3-7 Μαρτίου. Προσεγγιστική περιγραφή της ύλης που διδάχθηκε:

• Πολυώνυμα με περισσότερες από μία μεταβλητές. Βλ. Σελ. 100 του βιβλίου (β). Στο μάθημα έγινε λεπτομερής συζήτηση και παρουσιάσθηκε αναλυτικά παράδειγμα ευκλείδειας διαίρεσης πολυωνύμων δύο μεταβλητών με συντελεστές από το Z₇ . Για εξάσκηση, πάνω από το σώμα Z₇ , βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του f = X⁵+X³Y²+X³+X³Y+3XY³+3XY+2X³Y³+2XY⁵+YX²+Y³+Y+2X²+4Y²+2+X δια του g = 3Y³X²+Y²X²+2YX²+5X³+X²+1, ως προς τη μεταβλητή X. Γιατί δεν μπορεί να γίνει η ευκλείδεια διαίρεση του f δια g ως προς τη μεταβλητή Y;

• Μέγιστος κοινός διαιρέτης πολυωνύμων με συντελεστές από ένα σώμα. Εισαγωγικά μόνο. Ορισμός 2.3.6, σελ. 107 του βιβλίου (β).

4^η Εβδομάδα: 10-14 Μαρτίου. Προσεγγιστική περιγραφή της ύλης που διδάχθηκε:

• Χαρακτηριστική δακτυλίου. Βλ. Ενότητα 1.4 των σημειώσεων Νταή.

• Ιδεώδη (μόνο “αμφίπλευρα”). Βλ. Βιβλίο (β), ενότητα 2.5 μέχρι και την υπο-ενότητα 2.5.7.

• Δείξαμε το εξής πολύ σημαντικό: Αν R=Z ή K[X], όπου K είναι σώμα, και a_1,a₂,...,a_n είναι στοιχεία του R, τότε το ιδεώδες I=< a_1,a₂,...,a_n >, που παράγεται απ' τα a_1,a₂,...,a_n , είναι κύριο, δηλαδή, υπάρχει b στον R, τέτοιο ώστε <a_1,a₂,...,a_n >=< b >. Έχει πού μεγάλη σημασία ότι η απόδειξη έγινε συγχρόνως και για τις δύο ως άνω περιπτώσεις του R. Χάρη σ' αυτό, δείξαμε ότι στον R μπορούμε, πολύ εύκολα πια, να ορίσομε μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) μιας n-άδας στοιχείων του R (όταν δεν είναι όλα μηδενικά).

• Την παραπάνω ιδιότητα δεν την έχουν όλοι οι δακτύλιοι. Δηλαδή, κάθε άλλο παρά δεδομένο είναι ότι, αν a_1,a₂,...,a_n είναι στοιχεία του R, τότε υπάρχει b στον R, τέτοιο ώστε <a_1,a₂,...,a_n > = < b >.
  Συζητήσαμε εκτενώς το παράδειγμα R=Q[X,Y] με I = <X-1,Y-2> και αποδείξαμε ότι το ιδεώδες αυτό δεν είναι κύριο.

• Εισαγωγή στη θεωρία διαιρετότητας σε ακέραιες περιοχές. Η ύλη που διδάχθηκε αντιστοιχεί, περίπου, στην ενότητα 1.1 των σημειώσεών μου. Συζητήθηκε λεπτομερώς το παράδειγμα (ε').

• Για την προσωπική μελέτη σας: Να λύσετε, οπωσδήποτε τις ασκήσεις 1.1 έως και 1.6 της ενότητας 1.1 του κεφαλαίου 1 των σημειώσεών μου. Επίσης, από τις ίδιες σημειώσεις, να μελετήσετε πολύ καλά τα Παραδείγματα (α') έως και (δ') της ίδιας ενότητας.

5^η Εβδομάδα: 17-21 Μαρτίου. Ολοκληρώθηκε η ύλη των ενοτήτων 1.1 – 1.3 των σημειώσεών μου. Η άσκηση 1.9 λύθηκε με κάθε λεπτομέρεια.

• Πριν προχωρήσετε στη μελέτη σας βεβαιωθείτε ότι μπορείτε να αποδείξετε (με χαρτί και μολύβι) την εξής πολύ σημαντική άσκηση, η οποία συνοψίζει πολλές από τις ιδιότητες, που έχομε δει μέχρι σήμερα:
  Άσκηση (πολύ θεμελιώδης). Έστω ακέραια περιοχή D. Έστω ότι τα a,b, c₁,c₂,...,c_n είναι στοιχεία της D και το a' είναι συνεταιρικό του a. Αποδείξτε ότι κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις (1) έως (6) είναι ισοδύναμη με την αντίστοιχη πρόταση, όταν στη θέση του a μπει το a':
  1: a | b
  2: a είναι συνεταιρικό με το b.
  3: a είναι ανάγωγο.
  4: a είναι πρώτο.
  5: a είναι πρώτο προς το b.
  6: a = ΜΚΔ(c₁,c₂,...,c_n)

• Να λύσετε, οπωσδήποτε, την άσκηση 1.11 των σημειώσεών μου, την οποία πρόσθεσα σήμερα (22-3-2014). Για το ερώτημα (β) θα μιμηθείτε την απόδειξη, που έκανα στο μάθημα της Τετάρτης 19 Μαρτίου, ότι η ακέραια περιοχή Z[√-5] (άσκηση 1.9 των σημειώσεών μου) είναι περιοχή ανάλυσης.

6^η Εβδομάδα: 24-29 Μαρτίου. Ολοκληρώθηκε η ύλη των ενοτήτων 1.4 – 1.5 των σημειώσεών μου.

7^η Εβδομάδα: 31 Μαρτίου - 4 Απριλίου. Ευκλείδειες Περιοχές. Αποδείχθηκαν τα βασικά αποτελέσματα. Αποδείχθηκε, επίσης, ότι η ακέραια περιοχή D={a+b√-2 : a, b ακέραιοι} είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Βασισμένοι στην απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, σας ζητώ να αποδείξετε ότι και οι ακέραιες περιοχές {a+bi: a, b ακέραιοι} και {a+bω : a, b ακέραιοι}, όπου ω=(-1 +i√3)/2 (μιγαδική κυβική ρίζα της μονάδος, είναι περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης. Αυτή η ύλη περιέχεται στην ενότητα 1.6 των σημειώσεών μου. Η ενότητα 5.4 των σημειώσεων του Δ. Νταή "Εισαγωγή στη Θεωρία Δακτυλίων" περιέχουν τη σχετική ύλη, αλλά και πολύ περισσότερη.

8^η Εβδομάδα: 7-11 Απριλίου. Αποδείχθηκε ότι κάθε ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης (Πόρισμα 1.17 των σημειώσεών μου) και, ως εφαρμογή, επιλύθηκε η Διοφαντική εξίσωση x²+2=y³. Αποδείχθηκε ότι οι μοναδικές ακέραιες λύσεις της είναι (x,y)=(±5,3). Βλ. Παράδειγμα 3, μετά το Πόρισμα 1.17 των σημειώσεών μου. Συζητήθηκε η περίπτωση της, φαινομενικώς μόνο, παρόμοιας Διοφαντικής εξίσωσης x²+5=y³. Εξηγήσαμε γιατί, αν “μιμηθούμε” τη μέθοδο επίλυσης της προηγούμενης Διοφαντικής εξίσωσης, θα καταλήξομε στο συμπέρασμα ότι δεν έχει λύση, ενώ με απλή παρατήρηση διαπιστώνομε ότι έχει λύση την (x,y)=(7,4).
Μπήκαμε σε νέο κεφάλαιο: Εφαρμογές των ιδεωδών. Δακτύλιος-πηλίκο (βλ. τα εισαγωγικά της ενότητας 2.6 του βιβλίου (β) μέχρι και το Παράδειγμα 2.6.4). Πρώτα και μεγιστικά (maximal) ιδεώδη (βλ. όλη την ενότητα 2.10 του βιβλίου (β)). Συνιστώ ισχυρά να μελετήσετε την ενότητα 2.7 της "Εισαγωγής στη Θεωρία Δακτυλίων" του Δ. Νταή.
Ως πρώτη εφαρμογή αποδείξαμε το εξής:
Θεώρημα. Αν το K είναι σώμα και το f(X) είναι ανάγωγο πολυώνυμο του K[X], βαθμού n>0, τότε υπάρχει σώμα L, με τις εξής ιδιότητες:

• Το K είναι υπόσωμά του L.

• Υπάρχει ένα στοιχείο u του L, τέτοιο ώστε f(u)=0 και L= {c₀+c₁u +...+ c_n-1u^n-1 | c₀,c_1,,...,c_n-1 στο K}

Βλ. Κεφάλαιο 2, ενότητα 2.1 των σημειώσεών μου.

9^η Εβδομάδα: 28 Απριλίου - 2 Μαΐου. Απαλείφουσα (ενότητα 2.2 των σημειώσεών μου). Μικρή εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία (ενότητα 2.3 των σημειώσεών μου, μέχρι και την άσκηση 2.6).

10^η Εβδομάδα: 5-9 Μαΐου. Μικρή εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία (ενότητα 2.3 των σημειώσεών μου, από την Πρόταση 2.7 μέχρι και το Θεώρημα 2.13).

11^η Εβδομάδα: 12-16 Μαΐου. Μικρή εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία (ενότητα 2.3 των σημειώσεών μου, μέχρι και το Θεώρημα 2.16).

12^η Εβδομάδα: 19-23 Μαΐου. Τη Δευτέρα 20/5, επομένη των εκλογών, δεν έγινε μάθημα, σύμφωνα με απόφαση της συγκλήτου. Την Τετάρτη ολοκληρώθηκε η Μικρή εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία. Ολοκληρώθηκε η ενότητα 2.3 καθώς και η μικρότερη ενότητα 2.4, με τίτλο "Το Nullstellensatz του Hilbert"των σημειώσεών μου. 

13^η Εβδομάδα: 26-30 Μαΐου. Τη Δευτέρα 26/5, επομένη των ευρωεκλογών, δεν έγινε μάθημα, σύμφωνα με απόφαση της συγκλήτου. Εκτός από το μάθημα της Τετάρτης, έγινε συμπληρωματικό μάθημα και την Πέμπτη 29/5 το δίωρο 1-3.  Τα μαθήματα αυτών των δύο ημερών αφιερώθηκαν, αποκλειστικά, στη λύση ασκήσεων, όλες από τις σημειώσεις μου.  

Τελευταία ενημέρωση: 18-9-2014