Isogonal_Conjugation

1. Ισογώνια συζυγία

Γιά κάθε σημείο D του επιπέδου τριγώνου ABC θεωρούμε τις συμμετρικές {EA, EB, EC} των ευθειών {DA, DB, DC} ως προς τις αντίστοιχες διχοτόμους. Οι ευθείες αυτές συντρέχουν σε σημείο E, ονομαζόμενο ισογώνιο συζυγές του D ως προς το τρίγωνο ΑBC.
Η απεικόνιση f: D ---> E λέγεται ισογώνια συζυγία οριζόμενη από το τρίγωνο ABC.
Η απεικόνιση f είναι ενελικτική, δηλαδή ισχύει f² = 1.

Η σύμπτωση των ευθειών στο E αποδεικνύεται με το θεώρημα του Ceva.
Γιά το ίχνος D₁ στην BC ισχύει
D₁B/D₁C=(DJ/sin(B))/(DH/sin(C)) = k₁(sin(C)/sin(B)).
Το αντίστοιχο ίχνος E₁ στην BC θα έχει
E₁B/E₁C=(EQ/sin(B))/(EO/sin(C))=(1/k₁)(sin(C)/sin(B)),
λόγω της συμμετρίας ως προς την διχοτόμο. Κατά Ceva το γινόμενο k₁k₂k₃=1 και τούτο συνεπάγεται ότι (1/k₁)(1/k₂)(1/k₃)=1, που αποδεικνύει την σύμπτωση στο Ε.

2. Ποδικά των ισογωνίων συζυγών

Οι έξι προβολές του D και του ισογώνιού του E στις πλευρές τριγώνου περιέχονται σε κύκλο που το κέντρο του είναι το μέσον του DE.

Λόγω της ισογώνιας συζυγίας των {D,E} τα τρίγωνα {DD₂D₃, EE₃E₂} θα είναι όμοια και τα σημεία {D₃,E₃,D₂,E₂} είναι ομοκυκλικά. Το κέντρο του κύκλου που ορίζεται θα είναι το μέσον Ο της DE. Άρα το Ο ισαπέχει από αυτά τα τέσσαρα σημεία. Ανάλογα ισαπέχει και από τα {D₁,E₁}.

3. Τριγραμμικές συντεταγμένες

Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του D(x:y:z) και του ισογωνίου συζυγούς Ε(x':y':z') ικανοποιούν την σχέση
x*x' = y*y' = z*z' = k,
όπου k η δύναμις του D ως προς τον κύκλο c = (D₁D₂D₃).

H συμμετρία των {D, E} ως προς Ο συνεπάγεται ότι το αντιδιαμετρικό F₁ του Ε₁ ορίζει τμήμα DF₁ = E₁E. Άρα γιά τις τριγραμμικές συντεταγμένες {x,x'} θα ισχύει x*x' = r²-DO² = δύναμις του D ως προς τον κύκλο c. H ίδια σχέση προκύπτει και γιά τα γινόμενα {y*y', z*z'}.
Πόρισμα Η ισογώνια συζυγία περιγράφεται σε τριγραμμικές συντεταγμένες με την απεικόνιση

O προηγούμενος υπολογισμός δείχνει ότι (x':y':z') = (k/x : k/y : k/z). Επειδή οι τριγραμμικές είναι ορισμένες με απροσδιοριστία πολ/κής σταθεράς έπεται ότι μπορούμε να διαιρέσουμε με το k.

4. Παρατηρήσεις

[1] Η ισογώνια συζυγία δεν ορίζεται γιά σημεία που συμπίπτουν με τις κορυφές του τριγώνου αναφοράς ABC.
[2] Γιά σημεία μη περιεχόμενα στις πλευρές του τριγώνου αναφοράς ABC η απεικόνιση είναι 1-1 και επί.
[3] Όλα τα σημεία μιάς πλευράς απεικονίζονται στην απέναντι κορυφή.
[4] Η ισογώνια συζυγία είναι ειδική περίπτωση τετραγωνικού μετασχηματισμού που συνδέεται με οικογένειες κωνικών (δες Ισογώνιος ως τετραγωνικός ).
[5] Μερικά αξιοσημείωτα κέντρα τριγώνου και τα ισογώνια συζυγή τους είναι: ({a,b,c}: μήκη πλευρών {A,B,C}: μέτρα γωνιών):

X₁ : Έκκεντρο: (1,1,1) ----> Έκκεντρο, σταθερό σημείο της ισογώνιας συζυγίας.
X₂ : Κέντρο βάρους: (1/a, 1/b, 1/c) ----> X₆ : Συμμετροδιάμεσο σημείο (a, b, c).
X₃ : Περίκεντρο (cosA, cosB, cosC) ----> X₄ : Ορθόκεντρο (1/cosA, 1/cosB, 1/cosC).
B₁ : Πρώτο σημείο Brocard (c/b, a/c, b/a) ----> B₂ : Δεύτερο σημείο Brocard (b/c, c/a, a/b).
X₇ : Σημείο Gergonne (b*c/(b+c-a), ... ) ----> X₅₅ : Εσωτερικό κέντρο ομοιότητας περικύκλου/ εγγεγραμμένου (a*(b+c-a), ...).
X₈ : Σημείο Nagel ((b+c-a)/a, ...) ----> X₅₆ : Εξωτερικό κέντρο ομοιότητας περικύκλου/ εγγεγραμμένου (a/(b+c-a),...).
Το κόμα σημαίνει ότι οι άλλες (τριγραμμικές) συντεταγμένες προκύπτουν με κυκλική αντικατάσταση των γραμμάτων {a,b,c}.

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Ceva
Τριγραμμικές συντεταγμένες
Ισογώνιος ως τετραγωνικός
Ισογώνιο τομής τριών κοινών εφαπτομένων

Βιβλιογραφία

Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry , 2nd Ed.. New York, Barnes and Noble, 1952, pp. 156-160.
Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1995, p. 50.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/