Miquel_Point

1. Σημείο του Miquel

Έστωσαν σημεία {A',B',C'} των πλευρών {ΒC, CA, AB} τριγώνου ABC. Τότε οι κύκλοι (AB'C'), (BC'A'), (CA'B') διέρχονται όλοι από κοινό σημείο P.

Γιά όλες τις δυνατές σχετικές θέσεις των σημείων {A',B',C'} ο ισχυρισμός έπεται από μία εύκολη σύγκριση γωνιών, όπως η υποδεικνυόμενη στο σχήμα.
Παρατήρηση Η ιδιότητα ισχύει γιά όλες τις σχετικές θέσεις των σημείων {A',B',C'} επί των αντιστοίχων ευθειών {BC,CA,AB}. Ακόμη και στις περιπτώσεις :
(α) Όπου ένα σημείο, λ.χ. το C' συμπίπτει με μία κορυφή, λ.χ. την A (πρώτο σχήμα παρακάτω).
(β) Τα τρία σημεία {A',B',C'} είναι συγγραμμικά (δεύτερο σχήμα παρακάτω).

Το σημείο P ονομάζεται ενίοτε οδηγός περιστροφής. Τούτο διότι γιά μία άλλη τριάδα σημείων {A'',B'',C''} αντίστοιχα επί των πλευρών {BC,CA,AB} που ορίζουν με τους αντίστοιχους κύκλους {(AB''C''),(BC''A''),(CA''B'')}, το ίδιο σημείο P, ορίζεται ένα είδος στροφής.
Τα τρία τρίγωνα {PA'A'',PB'B'',PC'C''} είναι όμοια. Συνεπώς τα τρίγωνα A'B'C', A''B''C'' είναι επίσης όμοια. Έτσι μεταβάλλοντας το φ μπορεί κανείς να θεωρήσει ότι το A'B'C' περιστρέφεται περί το P, ενώ οι κορυφές του γλιστρούν στις πλευρές του ABC (δες Οδηγός εγγραφής ).

Στο προηγούμενο σχήμα το C' θεωρείται συμπίπτον με το A. Η απόδειξη και σε αυτήν την περίπτωση είναι μία εύκολη σύγκριση γωνιών.

Παρατήρηση-1 Η ιδιότητα έχει και μία άλλη άποψη: Θεώρησε δύο κύκλους: (ABA') τέμνοντα την BC στο A' επί της BC και τον κύκλο (CA'B') με B' επί της AC, the two circles intersecting at P. Τότε ο κύκλος (APB') είναι εφαπτόμενος της AB στο A.

Παρατήρηση-2 Και μία ακόμη άποψη: Θεώρησε τον κύκλο (APB') εφαπτόμενο της AB στο A και B' αυθαίρετο επί της AC, και τον κύκλο (B'CA') με A' αυθαίρετο επί της BC, οι δύο κύκλοι τεμνόμενοι στο P. Τότε ο κύκλος (APA') διέρχεται από το B.

2. Σημείο Miquel, η συγγραμμική περίπτωση

Έστωσαν τρία συγγραμμικά σημεία {A',B',C'} επί των πλευρών {BC, CA, AB} του τριγώνου ABC. Τότε οι κύκλοι (AB'C'), (BC'A'), (CA'B') διέρχονται από κοινό σημείο P.

Πόρισμα-1 Ο περίκυκλος του τριγώνου ABC διέρχεται επίσης διά του P.
Πράγματι σε αυτήν την περίπτωση το σχήμα διαβάζεται με δύο τρόπους :
(α) το τρίγωνο ABC + την τέμνουσα ευθεία A'B'C'.
(ii) το τρίγωνο A'BC' + την τέμνουσα ευθεία AB'C.
Στην πρώτη περίπτωση έχουμε σύμπτωση στο P των κύκλων (AB'C'), (BC'A') και (CA'B').
Στην δεύτερη περίπτωση έχουμε σύμπτωση στο P των κύκλων (A'B'C), (BCA) και (C'AB').

Πόρισμα-2 Οι ευθείες {PA',PB',PC'} είναι ίσον κεκλιμένες προς τις πλευρές {BC,CA,AB} του τριγώνου.

Μιά ειδική περίπτωση του τελευταίου πορίσματος είναι αυτή κατά την οποία η κλίση αυτών των ευθειών είναι μία ορθή γωνία. Τότε η ευθεία A'B'C' είναι μιά ευθεία των Simson-Wallace του τριγώνου ABC. Όμως προκύπτει άμεσα και μιά γενίκευσή τους:

Πόρισμα-3 (Γενίκευση των ευθειών Simson-Wallace) Εάν P είναι επί του περικύκλου του ABC και τα σημεία {A',B',C'} είναι επί των πλευρών {BC,CA,AB} έτσι ώστε οι {PC',PA',PB'} να είναι αντίστοιχα ίσον κεκλιμένες προς τις πλευρές, τότε τα {A',B',C'} είναι συγγραμμικά.
Αντίστροφα, εάν τα σημεία {C',A',B'} είναι συγγραμμικά επί των αντιστοίχων πλευρών {AB,BC,CA} του τριγώνου ABC, τότε υπάρχει σημείο P έτσι ώστε οι {PC',PA',PB'} να είναι ίσο κεκλιμένες προς τις πλευρές του τριγώνου και το P είναι επί του περικύκλου του ABC.

3. Η άποψη των τεσσάρων ευθειών

Το σχήμα της προηγουμένης παραγράφου μπορεί να θεωρηθεί ως ιδιότητα ενός τετραπλεύρου:
Οι περίκυκλοι των τριγώνων που σχηματίζονται από τρεις εκ των πλευρών του τετραπλεύρου διέρχονται όλοι από σημείο P. Ονομάζουμε συχνά το Ρ οδηγό Miquel του τετραπλεύρου.
Γιά να φτιάξουμε ένα τέτοιο τρίγωνο αφήνουμε κατά μέρος μία πλευρά (ευθεία) του τετραπλεύρου και θεωρούμε το τρίγωνο των υπολοίπων πλευρών (ευθειών). Το σχήμα αυτό έχει πολλές ιδιότητες και εφαρμογές. Μερικές από αυτές εξετάζονται παρακάτω.

Πρόταση-1 Θεώρησε τα τέσσαρα κέντρα {O₁,O₂,O₃,O₄} των περικύκλων {c₁,c₂,c₃,c₄} που προκύπτουν από τα τρίγωνα του τετραπλεύρου, έκαστον οριζόμενο από τρείς πλευρές αυτού.
Αφήνοντας κατά μέρος ένα από τα {O_i}, το τρίγωνο με κορυφές τα υπόλοιπα είναι όμοιο προς το τρίγωνο που περιγράφεται από τον κύκλο c_i (δηλαδή αυτόν που παραλήφθηκε το κέντρο του).

Λόγω των αναλογιών του σχήματος αρκεί να δείξουμε την ιδιότητα γιά ένα μόνο τρίγωνο, λ.χ. το O₁O₂O₃. Τούτο όμως έπεται από το ότι η PA' είναι κάθετος προς την O₁O₂ και τις ανάλογες καθετότητες προς τις άλλες πλευρές.

Πρόταση-2 Τα κέντρα {O₁,O₂,O₃,O₄} των τεσσάρων περικύκλων περιέχονται σε κύκλο c₀. Ο κύκλος αυτός διέρχεται διά του P.

Ο πρώτος ισχυρισμός προκύπτει αμέσως από την πρόταση-1. Γιά παράδειγμα, αφήνοντας το O₂, το τρίγωνο O₁O₃O₄ είναι όμοιο του B'CA' και οι γωνίες στα O₄ και O₂ αθροίζονται σε δύο ορθές.
Ο άλλος ισχυρισμός έπεται επίσης εύκολα σημειώνοντας ότι το O₃PO₂ είναι όμοιο του C'PA', άρα οι γωνίες στο P και O₁ αθροίζονται σε δύο ορθές.

Πρόταση-3 Εάν το τετράπλευρο BCB'C' είναι κυκλικό τότε το κέντρο του περιέχεται επίσης στον κύκλο c₀.
Αυτό έπεται με μιά εύκολη σύγκριση γωνιών και την πρόταση-1.

4. Η ευθεία Simson-Wallace του P

[1] Η ευθείες Simson-Wallace του Ρ ως προς τα τρίγωνα {ABC,AC'B',B'CA',A'C'B} που προκύπτουν από το τετράπλευρο BCB'C' συμπίπτουν με μία ευθεία L.
[2] Τα ορθόκεντρα αυτών των τεσσάρων τριγώνων είναι συγγραμμικά και η ευθεία L' που τα περιέχει of these four είναι παράλληλος της L και σε απόσταση d(P,L') = 2d(P,L).

Ο πρώτος ισχυρισμός προκύπτει αμέσως από το γεγονός ότι δύο πλευρές του τετραπλεύρου συμμετέχουν σε δύο τρίγωνα εκ των τεσσάρων και από το πόρισμα-3 της παραγράφου-2.
Ο δεύτερος ισχυρισμός είναι συνέπεια του πρώτου και την γενική ιδιότητα κατά την οποία μία ευθεία L' παράλληλος της Simson-Wallace ευθείας L(P) στην διπλάσια από το P απόσταση διέρχεται από το ορθόκεντρο του τριγώνου (δες Eυθείες Steiner ).

5. Η παραβολή που εφάπτεται τεσσάρων ευθειών

[1] Υπάρχει μία ακριβώς παραβολή εφαπτόμενη τεσσάρων ευθειών σε γενική θέση.
[2] Εστία αυτής της παραβολής είναι το σημείο Miquel P του τετραπλεύρου των τεσσάρων ευθειών.
[3] H εφαπτόμενη της παραβολής στην κορυφή της είναι η ευθεία Simson-Wallace του P ως προς ένα οποιοδήποτε εκ των τεσσάρων τριγώνων που σχηματίζονται από τρεις εκ των τεσσάρων ευθειών.

[1] Είναι συνέπεια γενικής ιδιότητας των κωνικών να ορίζονται μονοσήμαντα απο 5 ευθείες σε γενική θέση (δηλαδή κάθε τρεις τους να μήν διέρχονται από κοινό σημείο) προς τις οποίες εφάπτονται. Η πέμπτη ευθεία που λείπει είναι η ευθεία στο άπειρο προς την οποία η παραβολή είναι επίσης εφαπτόμενη.
[2] Είναι συνέπεια γενικής ιδιότητας των τριγώνων οι πλευρές των οποίων εφάπτονται παραβολής. Ο περίκυκλός τους περνά από την εστία και η ευθεία τους Simson-Wallace line ως προς την εστία είναι η εφαπτόμενη της παραβολής στην κορυφή της (ενώ το ορθόκεντρο του τριγώνου περιέχεται στην διευθετούσα της παραβολής, δες σχετικά το Χορδές παραβολής ).

Παρατήρηση Υπάρχει ένα είδος δυϊκού σημείου-οδηγού-Miquel , κατά το οποίο θεωρούμε τρεις ευθείες διερχόμενες από τις κορυφές τριγώνου και τρεις κύκλους τεμνόμενους πάλι σε ένα κοινό σημείο (δες Δυϊκό σχήμα Miquel ).

Δείτε ακόμη

Δυϊκό σχήμα Miquel
Οδηγός εγγραφής
Χορδές παραβολής
Παραβολή
Ευθείες Simson-Wallace
Eυθείες Steiner

Βιβλιογραφία

Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1995, pp. 79-86.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/