Pedal

1. Ποδικό τριγώνο σημείου

Έστω τρίγωνο ABC και σημείο D του επιπέδου του. Έστω ότι {D₁,D₂,D₃} είναι οι προβολές του D στις πλευρές του τριγώνου. Το τρίγωνο D₁D₂D₃ λέγεται ποδικό του σημείου D.
Οι προσημασμένες αποστάσεις{x,y,z} του D από τις πλευρές του ABC είναι οι τριγραμμικές συντετγαμένες του σημείου D (δες Τριγραμμικές συντεταγμένες ). Όλα τα στοιχεία του ποδικού μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των τριγραμμικών. Παρακάτω σημειώνω μερικές σχέσεις χρήσιμες σε διάφορα θέματα που σχετίζονται με τα ποδικά τρίγωνα. Εκτός από την πρώτη και τελευταία, αντίστοιχοι τύποι ισχύουν και αν αντικατασταθούν τα γράμματα κυκλικά.

Η [1] προκύπτει υπολογίζοντας το εμβαδόν του ABC με χρήση των (x,y,z). Οι [2,3] συζητούνται στο Συστήματα συντεταγμένων . Η [4] είναι συνέπεια της προηγουμένης. Η [5] είναι ένας υπολογισμός του ύψους τριγώνου. Οι [6, 7] αποδεικνύονται εύκολα (Steiner) ως εξής:
Επειδή AD₃DD₂ είναι κυκλικό sin(D₂DD₃)=sin(A) και η αριστερή πλευρά της [6] είναι:
(1/2)(AD₃*AD₂*sin(A) +DD₃*DD₂*sin(A)) - DD₃*DD₂*sin(A) = (1/2)(AD₃*AD₂*sin(A) -DD₃*DD₂*sin(A)) = (sin(A)*x'²/2)(cos(φ)cos(A-φ)-sin(φ)sin(A-φ)) = (sin(A)x'²/2)*cos(A). Η [7] είναι συνέπεια της [6] και η [8] αποδεικνύεται στο Εμβαδόν του ποδικού .

2. Πρόσθετες ιδιότητες

Ο περίκυκλος (c) του τριγώνου D₁D₂D₃ τέμνει τις πλευρές του ξανά στα σημεία {E₁,E₂,E₃}, έτσι ώστε:
[1] Τα {E₁,E₂,E₃} είναι προβολές στις πλευρές του ABC ενός άλλου σημείου E.
[2] Τα σημεία {D,E} είναι συμμετρικά ως προς το περίκεντρο O του D₁D₂D₃ (ή/και του E₁E₂E₃).
[3] Τα σημεία {D,E} είναι συζυγή ισογώνια ως προς ABC.
[4] Τα τετράπλευρα DD₃AD₂ και EE₂AE₃ είναι κυκλικά και όμοια.
[5] Η ευθεία AH, όπου H η τομή των ευθειών {D₂D₃, E₂E₃} είναι ορθογώνια στην DE.
[6] Η ευθεία D₃E₂ διέρχεται από τον πόλο F της ευθείας AH ως προς τον κύκλο c.
[7] Τα τετράπλευρα DD₃AD₂ και EE₂AE₃ είναι προοπτικά ως προς F.
[8] Ο άξονας προοπτικότητας των σημειακά προοπτικών τριγώνων {DD₂D₃, EE₃E₂}, είναι η ευθεία HIK, που διέρχεται από το κέντρο O του (c) και είναι ορθογώνια της AF.

Ανάλογες ιδιότητες ισχύουν γιά αντίστοιχες κατασκευές που γίννονται ως προς τις άλλες κορυφές {B, C} του τριγώνου ABC.

[1, 2]: Θεώρησε τις προβολές του Ο στις πλευρές και ταύτισε τα E_i με τα συμμετρικά των D_i.
[3]: Από την ισότητα γωνιών που υποδεικνύεται στο σχήμα.
[4]: Έπεται από την [3] δείχνοντας την ομοιότητα των αντιστοίχων τριγώνων.
[5]: Το Η είναι στον ριζικό άξονα των περικύκλων των ομοίων τετραπλεύρων (στην πραγματικότητα είναι το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων που φαίνονται στο σχήμα). Επειδή οι AD, AE είναι διάμετροι αυτών των κύκλων, ο ριζικός τους άξονας είναι ορθογώνιος στην DE.
[6]: Θεωρώντας το F ως τομή των ευθειών {D₂E₃, D₃E₂} έχουμε ένα πλήρες τετράπλευρο και F είναι ο πόλος της AH ως προς τον κύκλο, άρα η κάθετος OG προς την AJ (δες [5]) διέρχεται διά του F.
[7]: 'Επεται από την [6].
[8]: Ό άξονας προοπτικότητας είναι επίσης διαγώνιος του παραλληλογράμμου DKEI, άρα διέρχεται από το μέσον O της DE. Με ένα επιχείρημα όπως αυτό της [6] συμπεραίνουμε ότι το H είναι ο πόλος της ευθείας AF, άρα η OH είναι κάθετη προς την AF.

3. Το τρίτο ποδικό

Το τρίτο ποδικό τρίγωνο t₃ = JKL του τριγώνου t = ABC είναι όμοιο του ABC.

Η απόδειξη είναι ένα εύκολο κυνήγι γωνιών όπως υποδεικνύει το σχήμα. Το ποδικό t₁=DEF προκύπτει προβάλοντας το P στις πλευρές του t. Το ποδικό t₂=GHI (του DEF) προκύπτει προβάλοντας το P στις πλευρές του t₁ κτλ..

4. Εγγεγραμμένα τρίγωνα

Εκτός των τριγραμμικών, τα ποδικά τρίγωνα συνδέονται και με άλλα ζητήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας. Μεταξύ αυτών είναι και το πρόβλημα εγγραφής τριγώνου μέσα σε άλλο και τα σημεία οδηγοί μιάς τέτοιας εγγραφής. Προβάλοντας το σημείο P στις πλευρές του ABC όχι ορθογώνια αλλά παράλληλα και κατά γωνία (φ) προς την κάθετο παίρνουμε τρίγωνα όμοια του ποδικού. Παίρνουμε έτσι μιά οικογένεια ομοίων τριγώνων A'B'C' της οποίας το ποδικό είναι το τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν (ή περίμετρο).

Αυτό φαίνεται εύκολα παρατηρώντας ότι τα τρίγωνα {PA'B', PB'C', PC'A'} παραμένου ομοια εαυτών και οι πλευρές τους απέναντι από το P περιβάλλουν μιά παραβολής της οποίας εστία είναι το P και κορυφή είναι η προβολή P' του P σε μία πλευρά του ποδικού (δες Θεώρημα Newton γιά τις λεπτομέριες).

5. Ποδικά τρίγωνα ειδικών σημείων

[1] Ποδικό του εκκέντρου, σχηματιζόμενο από τα σημεία επαφής με τον εγγεγραμμένο κύκλο.
[2] Ποδικό του περικέντρου, σχηματιζόμενο απο τα μέσα των πλευρώ (τρίγωνο των μέσων).

[3] Ποδικό του ορθοκέντρου του ABC: ορθικό τρίγωνο του ABC.
[4] Ποδικό του συμμετροδιάμεσου σημείου του ABC: τρίγωνο όμοιο με αυτό των διαμέσων του ABC.

6. Προβλήματα

[1] Δείξε ότι το ορθικό είναι το "ελάχιστο" ως προς την περίμετρο ποδικό (πρόβλημα Fagnano).
[2] Βρες τις ιδιότητες του ποδικού του κέντρου βάρους του τριγώνου.
[3] Χαρακτήρισε τα σημεία P γιά τα οποία οι ευθείες που συνδέουν τις προβολές τους με τις απέναντι κορυφές συνέρχονται σε σημείο (ποδική κυβική του Rigby).

Το προηγούμενο σχήμα δείχνει την ποδική του Rigby καθώς και μερικά αξιοσημείωτα σημεία που περιέχονται σε αυτήν: το έκκεντρο, το περίκεντρο, το ορθόκεντρο, το σημείο Gergonne, και το σημείο de Longchamps.

Δείτε ακόμη

Συστήματα συντεταγμένων
Θεώρημα Newton
Εμβαδόν του ποδικού
Τριγραμμικές συντεταγμένες

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/