Συνοπτικό Εβδομαδιαίο Ημερολόγιο

Εβδομάδα 7 (19-23 Μαρτίου 2018).
- Γραμμικές ΣΔΕ 2ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές: Αναγωγή σε γραμμική ΣΔΕ 1ης τάξης οταν είναι γνωστή μια λύση. Όταν οι συντελεστές είναι πολυώνυμα μπορεί να υπάρχει λύση που είναι πολυωνύμο ή έχει τη μορφή exp(μ t). Παραδείγματα.
- 2x2, μη ομογενή γραμμικά συστήματα ΣΔΕ 1ης τάξης με σταθερούς συντελεστές: Αναγωγή σε ΣΔΕ 1ης ή 2ης τάξης. Παραδείγματα.
- 2x2, ομογενή, γραμμικά συστήματα ΣΔΕ 1ης τάξης με σταθερούς συντελεστές: Κατασκευή διαγράμματων φάσης. Παραδείγματα.
- Πρόβλημα αρχικών τιμών για ΜΔΕ 1ης τάξης της μορφής u_t(t,x)+ a(t,x) u_x(t,x)=f(t,x,u(t,x)): Κατασκευή λύσης με τη μέθοδο των χαραχτηριστικών καμπυλών. Παραδείγματα.
Εβδομάδα 6 (12-16 Μαρτίου 2018).
- Γραμμικά Συστήματα ΣΔΕ 1ης τάξης: Γενική διατύπωση. Μετατροπή μιας μη ομογενούς, γραμμικής ΣΔΕ n-τάξης σε γραμμικό σύστημα ΣΔΕ 1ης τάξης. Διατπύπωση του προβλήματος αρχικών τιμών και αντίστοιχου θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του. Ορισμός της Wronskian που αντιστοιχεί σε n-γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις. Αν γνωρίζουμε n γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις, τότε η γενική λύση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός τους. Κατασκευη γραμμικώς ανεξαρτήτων λύσεων 2x2 γραμμικών συστημάτων με σταθερούς συντελεστές. Παραδείγματα.
- Εξισώσεις Euler με t<0. Απόδειξη της γραμμικής ανεξαρτησίας συναρτήσεων της μορφής: t^m exp(z t).

Εβδομάδα 5 (5-9 Μαρτίου 2018).
Εξισώσεις Εuler. Mη oμογενείς γραμμικές ΣΔΕ n-τάξης με σταθερούς συντελεστές: Η γενική λύση είναι το άθροισμα της γενικής λύσης του αντίστοιχου ομογενούς και μιας ειδικής λύσης. Αν ο μη ομογενής όρος ειναι πολυώνυμο τότε υπάρχει ειδική λύση που ειναι πολυώνυμο. Αν ο μη ομογενής όρος έχει τη μορφή exp(at)q(t) με q ένα πολυώνυμο, τότε υπάρχει ειδική λύση της μορφής exp(at)μ(t) όπου μ είναι ενα πολυώνυμο. Αν ο μη oμογενής όρος έχει τη μορφή exp(at)[ν(t) cos(at)+ μ(t) sin(a t)] τότε υπάρχει ειδική λύση της μορφής exp(at)[v(t) cos(at)+ w(t) sin(a t)] όπου τα v,w είναι πολυώνυμα. Παραδείγματα. Η μέθοδος μεταβαλλόμενων σταθερών.

Εβδομάδα 4 (26 Φεβρουαρίου - 2 Μαρτίου 2018) .
Ομογενείς γραμμικές ΣΔΕ n-τάξης με σταθερούς συντελεστές: Γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις έχουν μη μηδενική ορίζουσα Wronski. Άν είναι γνωστές n γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις τότε κάθε άλλη λύση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός τους. Χαραχτηριστικό πολυώνυμο. Γενική λύση όταν οι ρίζες του χαραχτηριστικού πολυωνύμου ειναι πραγματικές και ανά δύο διαφορετικές μεταξύ τους. Παραδειγματα. Γενική λύση όταν το χαραχτηριστικό πολυώνυμο έχει πραγματικές ρίζες οι οποίες είναι πολλαπλές. Παραδείγματα. Γενική λύση όταν το χαραχτηριστικό πολυώνυμο έχει μιγαδικές ρίζες απλές ή πολλαπλές. Παραδειγματα.

Εβδομάδα 3 (19-23 Φεβρουαρίου 2018) .
- ΣΔΕ της μορφής M(t,y(t))+N(t,y(t)) y'(t)=0: Ορισμός πληρότητας της ΣΔΕ. Συνθήκη στους συντελεστές Μ και Ν που εξασφαλίζουν την πληρότητα της ΣΔΕ. Ολοκληρωτικοί παράγοντες μ=μ(x,y). Συνθήκη για τους ολοκληρωτικούς παράγοντες. Ολοκληρωτικοί παράγοντες της μορφής μ=μ(x), μ=μ(y) και μ=φ(z(x,y)). Παραδείγματα.
- Eξισώσεις Bernoulli και Riccati.
- Γραμμικές ΣΔΕ n-τάξης με σταθερούς συντελεστές: Διατύπωση ΣΔΕ και προβλήματος αρχικών τιμών. Θεώρημα ύπάρξης και μοναδικότητας. Ορίζουσα Wronski. Γραμμική ανεξαρτησία συναρτήσεων. Γραμμικά εξαρτημένες συναρτήσεις έχουν μηδενική ορίζουσα Wronski.

Εβδομάδα 2 (12-16 Φεβρουαρίου 2018).
Αναγωγή ΣΔΕ της μορφής y'(t)=f(y(t)/t) και y'(t)=f((α t + β y(t) +γ)/(δ t + ε y(t) + ζ)) σε ΣΔΕ χωριζομένων μεταβλητών. Το πρόβλημα αρχικών τιμών για μιά γενική, γραμμική, μη ομογενή ΣΔΕ 1ης τάξης. Παραδείγματα.

Εβδομάδα 1 (5-9 Φεβρουαρίου 2018) .
Γενική μορφή ΣΔΕ n-ταξης. Πρόβλημα αρχικών τιμών. Τα προβλήματα αρχικών τιμών y'(t)=0 και (g(y(t)))'=0. Το προβλημα αρχικών τιμών για ΣΔΕ χωριζομένων μεταβλητών. Αναγωγή ΣΔΕ της μορφής y'(t)=f(α t +β y(t)+γ) σε ΣΔΕ χωριζομένων μεταβλητών. Παραδείγματα.