Vecten5

1. Σχήμα Vecten (V)

(Συνέχεια από το Σχήμα του Vecten (IV) ). Τα {A',B',C',A'',B'',C''} συμβολίζουν τα κέντρα των τετραγώνων. Τα {A₁,B₁,C₁,A₂,B₂,C₂} συμβολίζουν τα μέσα των παραλλήλων πλευρών των τραπεζίων.

[1] Τα {A'', A, A', A₂} είναι συγγραμμικά.
[2] Τα τμήματα {A''A, AA', A'A₂} είναι ίσα μεταξύ τους και προς το B'C' προς το οποίο είναι και κάθετα.
[3] Τα τρίγωνα {A'B'C', A₂B₂C₂} είναι προοπτικά ως προς το σημείο Vecten V του ABC.

Φέρω από το G παράλληλο GE' προς την πλευρά AC του τριγώνου ABC. Τα τρίγωνα {CGJ, E'FG} είναι ίσα ως έχοντα ίσες γωνίες και τις πλευρές {GJ, GF} ίσες.
Άρα E'F = E'A₂ = BC = DG (δες Σχήμα του Vecten (III) ). Έπεται αμέσως ότι τα τρίγωνα {ABC, A₂GD} είναι συμμετρικά ως προς Α'. Από τις βασικές ιδιότητες του σχήματος (δες Σχήμα του Vecten ) έπεται ότι και τα ευθύγραμμα τμήματα {A''A, AA'} είναι κάθετα και ίσα προς το B'C'. Από τα αναφερθέντα προκύπτουν άμεσα οι δύο πρώτοι ισχυρισμοί. Ο τρίτος είναι συνέπεια αυτών, λαμβανομένου υπόψιν ότι η ΑΑ' διέρχεται από το σημείο Vecten.

2. Πρόσθετες ιδιότητες

Οι επόμενες ιδιότητες είναι εύκολες συνέπειες των προηγηθέντων. Τα γράμματα με δείκτες συμβολίζουν μέσα πλευρών.
[1] A₄C'A₃B' είναι τετράγωνο. Ανάλογα και {B₄A'B₃C', C₄B'C₃A'} είναι τετράγωνα.
[2] To A₄ είναι κέντρο του τετραγώνου με πλευρά B'C'. Ανάλογα ισχύουν και γιά τα τετράγωνα με πλευρές {C'A', A'B'}.
[3] Τα τρίγωνα {ABC, A₁B₁C₁} είναι προοπτικά ως προς σημείο V' περιεχόμενο στην υπερβολή του Kiepert (δες Σχήμα του Vecten (II) ).
[4] Το τρίγωνο A₁B₁C₅ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο στο C₅.