Διακριτά Αντίστροφα Προβλήματα
Υλη του Μαθήματος
To μάθημα ανήκει στην κατηγορία "Θέματα" και έχει κωδικό Μ297-
Θα βασιστεί στο βιβλίο "Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory" του William Menke (Academic Press 1989).
H ύλη του μαθήματος είναι η εξής :
1.
Εισαγωγή
1.1 Ευθέα και Αντίστροφα Προβλήματα στις Φυσικές
Επιστήμες
1.2 Κατηγοριοποίηση αντιστρόφων προβλημάτων
1.3 Απλά παραδείγματα από τα μαθηματικά τη μηχανική και
την ιατρική τεχνολογία
2. Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων.
3.
Επίλυση γραμμικών αντιστρόφων προβλημάτων με εναλλακτικές μεθόδους
3.1 Μέθοδος μηκών
3.2 Γενικευμένες μέθοδοι
3.3 Μέθοδοι μέγιστης πιθανοφάνειας
4. Εφαρμογές σε διανυσματικούς χώρους
5. Μη γραμμικά αντίστροφα προβλήματα
6.
Τεχνικές επίλυσης προβλημάτων βελτιστοποίησης
6.1 Γενετικοί αλγόριθμοι
6.2 Νευρωνικά δίκτυα
7.
Εφαρμογές από τις φυσικές επιστήμες
7.1 Ακουστική Τομογραφία
7.2 Εντοπισμός επίκεντρου σεισμού
___________________________________________
Για την παρακολούθηση του μαθήματος θα υπάρξουν πρόχειρες σημειώσεις του διδάσκοντα που θα ανεβαίνουν σταδιακά στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο πεδίο "Σημειώσεις"
Για τους ενδιαφερόμενους φοιτητές υπάρχει η δυνατότητα να κατεβάσουν το ελεύθερα προσβάσιμο βιβλίο του Albert Tarantola : Inverse Problem Theory
Ισχυρά συνιστώμενα Μαθήματα
Το μάθημα δεν έχει προαπαιτούμενα. Ωστόσο το μάθημα θεωρείται προχωρημένο και συνεπώς για να το παρακολουθήσουν σωστά οι φοιτητές θα πρέπει να έχουν γνώσεις :
-
Απειροστικού Λογισμού ΙΙΙ
-
Γραμμικής Άλγεβρας Ι
-
Θεωρίας Πιθανοτήτων
-
Αριθμητικής Ανάλυσης
18 Φεβρουαρίου 2013. Εισαγωγή. Ευθέα και Αντίστροφα Προβλήματα από τις φυσικές επιστήμες
20 Φεβρουαρίου 2013. Κατηγοριοποίηση αντιστρόφων προβλημάτων. Παραδείγματα από τα μαθηματικά, τη μηχανική και την ιατρική τεχνολογία.
25 Φεβρουαρίου 2013. Παρουσίαση λύσεων αντιστρόφων προβλημάτων. Στοιχεία από τη θεωρία πιθανοτήτων.
27 Φεβρουαρίου 2013. Η κανονική κατανομή, Παρουσίαση λύσεων αντιστρόφων προβλημάτων. Επίλυση ενός Γραμμικού Αντίστροφου Προβλήματος με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Παράδειγμα ευθείας γραμμής.
4 Μαρτίου 2013. Παράδειγμα υπολογισμού παραμέτρων παραβολής και επιπέδου. Υπο-ορισμένα προβλήματα, Πολλαπλασιαστές Lagrange. Επίλυση διακριτών αντιστρόφων προβλημάτων με χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange.
11 Μαρτίου 2013. Μεικτά ορισμένα προβλήματα. Λύση ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση. Περιορισμοί σχετιζόμενοι με την αναμενόμενη ομαλότητα των παραμέτρων. Λύσεις με χρήση παραγόντων στάθμισης στην περίπτωση ελαχίστων τετραγώνων, ελαχίστου μήκους και ελαχίστων τετραγώνων με απόσβεση.
13 Μαρτίου 2013. Προβλήματα άλλους τύπους περιορισμών : Πρόσθετες γραμμικές σχέσεις των παραμέτρων μεταξύ τους. Παρουσίαση 1ης ομάδας ασκήσεων.
27 Μαρτίου 2013. Επανάληψη λύσεων γραμμικών διακριτών προβλημάτων. Πίνακες συνδιακύμανσης παραμέτρων. Εισαγωγή στους γενικευμένους αντίστροφους πίνακες.
3 Απριλίου 2013. Σχολιασμός της πρώτης ομάδας ασκήσεων.
8 Απριλίου 2013. Πίνακας ανάλυσης δεδομένων. Πίνακας ανάλυσης μετρήσεων. Μοναδιαίος πίνακας συνδιακύμανσης. Μετρήσεις ποιότητας.
10 Απριλίου 2013. Εισαγωγή στις μεθόδους μέγιστης πιθανοφάνειας. Εκτιμήσεις μέγιστης πιθανοφάνειας για το γραμμικό αντίστροφο πρόβλημα. Κατανομές παραμέτρων και μετρήσεων. Λύση μέγιστης πιθανοφάνειας για ακριβή και μη ακριβή θεωρία (μοντέλο).
15 Απριλίου 2013. Εναλλακτικές εκφράσεις της λύσης μέγιστης πιθανοφάνειας για διαφορετικές κατηγορίες αντιστρόφων προβλημάτων.
22 Απριλίου 2013. Διανυσματικοί χώροι παραμέτρων και δεδομένων. Μετασχηματισμοί για μεταφορά του γραμμικού αντίστροφου προβλήματος σε άλλους χώρους. Εισαγωγή στην Ανάλυση Ιδιαζουσών Τιμών (Singular Value Decomposition).
24 Απριλίου 2013. Ολοκλήρωση της αναφοράς σε Ανάλυση Ιδιαζουσών Τιμών για την επίλυση διακριτών αντιστρόφων προβλημάτων.
13 Μαΐου 2013. Μη γραμμικά αντίστροφα προβλήματα. Πιθανοθεωρητική αντιμετώπιση. Επαναληπτικές μέθοδοι.
15 Μαΐου 2013. Παράδειγμα μη γραμμικού αντίστροφου προβλήματος. Ακουστική Τομογραφία. Ευθύ πρόβλημα.
20 Μαΐου 2013. Διατύπωση και διακριτοποίηση του αντίστροφου προβλήματος Ακουστικής Τομογραφίας.
22 Μαΐου 2013. Εξέταση πρώτης εργαστηριακής άσκησης.
27 Μαΐου 2013. Μέθοδος ταύτισης πεδίου για την επίλυση του μη γραμμικού αντίστροφου προβλήματος της Ακουστικής Τομογραφίας.
29 Μαΐου 2013. Γενετικοί Αλγόριθμοι και Νευρωνικά Δίκτυα για την επίλυση μη γραμμικών αντιστρόφων προβλημάτων.