Γραμμική Άλγεβρα Ι

 

 

Υλη του Μαθήματος

Η ύλη του μαθήματος είναι η αναφερόμενη στον οδηγό σπουδών του Τμήματος

Μπορείτε να παρακολουθείτε την εξέλιξη των παραδόσεων αναφερόμενοι στην Πορεία του Μαθήματος

Τίτλος μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι
Κωδικός: Μ1122 (Μ112) Είδος μαθήματος: Υποχρεωτικό Επίπεδο μαθήματος: Εισαγωγικό
Έτος σπουδών: 1 Εξάμηνο: Εαρινό / Χειμερινό Ακαδημαϊκές Μονάδες: 7
Ώρες διαλέξεων: 4 Ώρες εργαστηρίου: ΟΕΠ Διδακτικές μονάδες: 5

Στόχοι του μαθήματος:

Το μάθημα απευθύνεται σε φοιτητές του δευτέρου εξαμήνου. Στόχος του μαθήματος είναι η μελέτη της Γραμμικής Άλγεβρας των χώρων Rn και Cn και των υποχώρων τους. H συστηματική μελέτη της απαλοιφής Gauss στοχεύει να αναδείξει τη χρησιμότητά της σε υπολογιστικά προβλήματα, ενώ παράλληλα αξιοποιείται για τη βαθύτερη θεωρητική μελέτη αυτών των χώρων. Γίνεται σύντομη αναφορά σε ζητήματα ταχύτητας και ακρίβειας υπολογισμών.

Περιεχόμενο μαθήματος:

  • Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, πίνακες, απαλοιφή Gauss.
  • Γραμμικοί υπόχωροι του Rn και του Cn. Γραμμική ανεξαρτησία, βάση, διάσταση. Θεμελιώδεις υπόχωροι ενός πίνακα. Γραμμικές απεικονίσεις.
  • Ορθογώνια διανύσματα στο Rn. Ορθογώνιοι υπόχωροι, ορθογωνιότητα θεμελιωδών υποχώρων ενός πίνακα. Ορθογώνια προβολή σε υπόχωρο και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.
  • Ορίζουσες. Ιδιότητες, μονοσήμαντο, μέθοδοι υπολογισμού, εφαρμογές.
  • Ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, διαγωνιοποίηση πίνακα.

Πορεία του Μαθήματος

26 Σεπτεμβρίου 2012. Συστήματα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Γεωμετρική και Διανυσματική ερμηνεία των λύσεων. Συστήματα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Γεωμετρική και Διανυσματική ερμηνεία των λύσεων. Ιδιόμορφες περιπτώσεις στα συστήματα δύο και τριών εξισώσεων με ισάριθμους αγνώστους και ερμηνεία τους με γεωμετρικό και διανυσματικό τρόπο. Διανύσματα στον Rn και γραμμικός συνδυασμός. Πρώτη παρουσίαση πινάκων.

1 Οκτωβρίου 2012.  Απαλοιφή Gauss. Ιδιόμορφες περιπτώσεις. Ορισμός πίνακα. Πίνακας συντελεστών απαλοιφής Gauss και επαυξημένος πίνακας. Συμβολισμός πινάκων. Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα. Άθροισμα πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων. Επιμεριστική ιδιότητα. Προσεταιριστική ιδιότητα πολλαπλασιασμού.

3 Οκτωβρίου 2012. Οι πίνακες Εij(λ). Η απαλοιφή Gauss με χρήση των πινάκων Εij(λ). Το γραμμικό σύστημα Ax=b ως Ux=c. Η γραφή του πίνακα Α χωρίς εναλλαγή γραμμών ως γινόμενο LU ή LDU'. Ο πίνακας μετάθεσης P.  Η παραγοντοποίηση PA=LDU'. H έννοια του αντίστροφου πίνακα.

5 Οκτωβρίου 2012.  Πρώτη ομάδα ασκήσεων.

12 Οκτωβρίου 2012. Δεύτερη ομάδα ασκήσεων.

15 Οκτωβρίου 2012. Αντίστροφοι πίνακες. Παραδείγματα χαρακτηριστικών αντιστρέψιμων πινάκων Αντίστροφος γινομένου αντιστρέψιμων πινάκων. Προτάσεις και λήμματα σχετικά με την αντιστρεψιμότητα πινάκων. Υπολογισμός αντιστρόφου πίνακα με την διαδικασία Gauss-Jordan. Αντιστρέψιμος πίνακας ισοδύναμη έννοια με τον μη ιδιόμορφο πίνακα. Ανάστροφος πίνακα. Ιδιότητες. Ανάστροφος συμμετρικού πίνακα και παραγοντοποίηση LDU.

17 Οκτωβρίου 2012. Η έννοια του διανυσματικού χώρου. Παραδείγματα συνόλων που χαρακτηρίζονται διανυσματικοί χώροι και άλλων που δεν χαρακτηρίζονται. Τα αξιώματα που πληροί ο διανυσματικός χώρος. Διανυσματικοί υπόχωροι με παραδείγματα. Ο χώρος των στηλών του πίνακα Α. Ο μηδενόχωρος του πίνακα Α. Διαδικασία απαλοιφής για παραλληλόγραμμους πίνακες. Ο κλιμακωτός πίνακας και παραγοντοποίηση PA=LDU χωρίς απόδειξη. Εισαγωγή στην μελέτη της επίλυσης ομογενών γραμμικών συστημάτων.

19 Οκτωβρίου 2012. Τρίτη ομάδα ασκήσεων.

22 Οκτωβρίου 2012. Επίλυση του ομογενούς συστήματος Ax=0 με αναγωγή στο Ux=0. Βασικές και ελεύθερες μεταβλητές. Τάξη του πίνακα Α. Παραγωγή του μηδενόχωρου. Γεωμετρική ερμηνεία. Επίλυση του μη ομογενούς συστήματος Ax=b. Για ποιές τιμές των στοιχείων του b έχει λύση. Γενική λύση = Ειδική λύση + λύση ομογενούς. Πότε η λύση του ομογενούς συστήματος είναι μόνο η τετριμμένη. Εισαγωγή στις έννοιες της γραμμικής ανεξαρτησίας διανυσμάτων.

24 Οκτωβρίου 2012. Παραδείγματα γραμμικά ανεξάρτητων και γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων. Παραγωγή διανυσματικού υπόχωρου. Βάση διανυσματικού υπόχωρου. Η βάση δεν είναι μοναδική αλλά ο συνδυασμός που παράγει ένα διάνυσμα του διανυσματικού υπόχωρου από κάποια βάση είναι μοναδικός. Οι βάσεις έχουν ίδια διάσταση. Απόδειξη και παραδείγματα. Γραμμική ανεξαρτησία γραμμών και στηλών στον κλιμακωτό πίνακα. Διάσταση διανυσματικού υπόχωρου.

26 Οκτωβρίου 2012. Τέταρτη ομάδα ασκήσεων.

29 Οκτωβρίου 2012. Οι τέσσερεις θεμελιώδεις υπόχωροι του Πίνακα Α. Βάσεις και διάσταση των τεσσάρων θεμελιωd;vn υποχώρων. Υπολογισμός των βάσεων μέσω της διαδικασίας παραγοντοποίησης του πίνακα Α. Ύπαρξη αντιστρόφου όταν η τάξη του πίνακα Α είναι η μέγιστη.

31 Οκτωβρίου 2012. Η έννοια του γραμμικού μετασχηματισμού από Rn.στον Rm.  Παραδείγματα γραμμικών μετασχηματισμών στο επίπεδο. Ο γραμμικός μετασχηματισμός εκφράζεται ως πίνακας A. Παραδείγματα με διανύσματα και διανύσματα που εκφράζουν την παραγώγιση πολυωνύμου βαθμού n. Ο πίνακας που εκφράζει στροφή θ ενός διανύσματος στο επίπεδο.

2 Νοεμβρίου 2012. Πέμπτη ομάδα ασκήσεων

5 Νοεμβρίου 2012. Οι πίνακες που εκφράζουν προβολή σε ευθεία και ανάκλαση διανυσμάτων σε ένα επίπεδο. Η εικόνα και η αντίστροφη εικόνα ενός διανυσματικού υπόχωρου. Ενεικονική, απεικονική και αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση. Αριστερός και δεξιός αντίστροφος ενός πίνακα Α και η σχέση τους με τις απεικονίσεις. Πότε έχομε αντίστροφο ενός πίνακα.

7 Νοεμβρίου 2012. Μήκος διανύσματος. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. Ορθογώνια διανύσματα. Τα  ορθογώνια διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ορθογώνιοι υπόχωροι. Ο χώρος των γραμμών ενός πίνακα Α είναι ορθογώνιος με τον μηδενόχωρο. Ορθογώνιο συμπλήρωμα. Οι υπόχωροι του πίνακα Α σε σχέση με την ορθογωνιότητα και την συμπληρωματικότητα (χωρίς αποδείξεις).

12 Νοεμβρίου 2012. Έκτη ομάδα ασκήσεων.

14 Νοεμβρίου 2012. Οι υπόχωροι του Πίνακα Α σε σχέση με την  ορθογωνιότητα και την συμπληρωματικότητα. Αποδείξεις. Ανακεφαλαίωση. Λύση ελαχίστων τετραγώνων. Προβολή διανύσματος σε επίπεδο. Πίνακας προβολής. Προβολή διανύσματος b σε διανυσματικό υπόχωρο V. Πίνακας προβολής.

16 Νοεμβρίου 2012. Έβδομη ομάδα ασκήσεων.

21 Νοεμβρίου 2012. Ιδιότητες πίνακα προβολής με αποδείξεις. Παράδειγμα από λύση 3 εξισώσεων με δύο αγνώστους. Ορθογώνιες και ορθοκανονικές βάσεις.

23 Νοεμβρίου 2012. Ασκήσεις επανάληψης τριών πρώτων κεφαλαίων.

24 Νοεμβρίου 2012. Πρόοδος

26 Νοεμβρίου 2012. Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt. Ανάλυση πίνακα Α με γραμμικά ανεξάρτητες στήλες στη μορφή A=QR. Σημασία της ανάλυσης στην επίλυση συστημάτων με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η έννοια της ορίζουσας. Ιδιότητες της ορίζουσας.  Η ορίζουσα ενός ιδιόμορφου πίνακα είναι 0.

28 Νοεμβρίου 2012. Ορίζουσα γινομένου πινάκων. Ορίζουσα αναστρόφου πίνακα. Υπολογισμός ορίζουσας με συμπαράγοντες. Η περίπτωση του 3x3 πίνακα.

30 Νοεμβρίου 2012. Όγδοη ομάδα ασκήσεων και ασκήσεις από την Πρόοδο.

3 Δεκεμβρίου 2012. Ορίζουσα τριδιαγώνιου πίνακα. Ο συζυγής πίνακας (adjA). Υπολογισμός του  αντίστροφου ενός πίνακα με χρήση οριζουσών. 

7 Δεκεμβρίου 2012. Ένατη ομάδα ασκήσεων

10 Δεκεμβρίου 2012. Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση οριζουσών. Πότε δεν χρειάζεται εναλλαγή γραμμών σε διαδικασία απαλοιφής Gauss. Η έννοια των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα. Η περίπτωση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και η σχέση του με τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του σχετιζόμενου πίνακα Α.

12 Δεκεμβρίου 2012. Μιγαδικές ιδιοτιμές. Το άθροισμα των ιδιοτιμών του πίνακα Α είναι το ίχνος του πίνακα, Το γινόμενο των ιδιοτιμών είναι η ορίζουσα του Πίνακα Α. Διαγωνιοποίηση πίνακα.

14 Δεκεμβρίου 2012. Δέκατη ομάδα ασκήσεων

17 Δεκεμβρίου 2012. Επαναληπτικές ασκήσεις